为什么欧拉路径可以在线性时间内实现，而不是哈密尔顿路径？

Question

我了解到即使看似相似，欧拉路径也可以在线性时间内求解，而哈密顿路径问题是NP完全的。我想知道造成这种差异的原因是什么？我不太了解图论，所以可能不太了解严格的证据，但有些术语应该没问题。

Answer 1

如果我们采用无向图的情况，如果图连接并且只有两个奇数度的顶点（开始和结束顶点），则存在欧拉路径。此路径仅访问每个边缘一次。因此，欧拉路径的存在取决于顶点度而不是实际顶点数。

对于哈密顿路径，没有简单的必要条件（当然也没有多项式时间算法）。由于路径必须恰好击中每个顶点一次，因此“硬”方法是检查顶点的所有排列并查看路径是否存在。

Answer 2

基本上，欧拉问题可以通过动态规划来解决，而汉密尔顿问题则不能。

这意味着如果您拥有图表的子集并通过它找到有效的循环路径，则可以将此部分解决方案与其他部分解决方案相结合，并找到全局有效的路径。对于最佳路径而言并非如此：即使在通过图的一小部分找到最佳路径之后，这很可能不成为全局最优路径的一部分（事实上，它通常不是）。非正式地说，通过大图的最佳路径取决于图中所有其他部分的确切值，因此没有人找到一种方法在问题上正确使用“分而治之”。

Answer 3

事实上， 汉密尔顿路径的局限是你必须只访问一次边缘。但是对于欧拉，你可能会访问相同的顶点，有时相同的边缘会反向。但是，在大多数情况下，可以创建新的顶点，但只能添加边。

Bellman，R。（1962），“旅行商问题的动态规划处理”，ACM 9：61-63期刊，doi：10.1145 / 321105.321111。

如果您只是检查那篇文章，那么图形的动态编程实现（当然不适用于所有类型的图形）。还有一些HMM实现，

Björklund，Andreas（2010），“无向汉密尔顿性的行列式和”，Proc。第51届IEEE计算机科学基础研讨会（FOCS '10），第173-182页，arXiv：1008.0541，doi：10.1109 / FOCS.2010.24。

欧拉路径的好处是;你可以得到子图（分支和绑定），然后得到总循环图。说实话，欧拉主要用于本地解决方案..

希望有所帮助..