Question

在 this earlier question 中，OP询问了以下问题：

给定一个矩形网格，其中一些正方形是空的，有些正方形被填充，可以放入世界的2x1多米诺骨牌的最大数量是多少，这样两个多米诺骨牌没有重叠，没有多米诺骨牌位于填充的正方形上面？

这个问题的答案（非常漂亮！）认识到这相当于在特殊构造的图中找到最大的二分匹配。在此图中，每个空方块都有一个节点，该节点通过边链接到每个邻居。然后，每个多米诺骨牌对应于图中的边缘，使得其端点不被任何其他边缘覆盖。因此，不共享顶点（匹配）的任何边集都对应于多米诺骨牌的排列，反之亦然。

我的问题是对前一个问题的概括：

给定一个矩形网格，其中一些正方形是空的而一些正方形被填充，可以放入世界的M x N多米诺骨牌（对于给定的M和N）的最大数量是多少，因此没有两个多米诺重叠并且没有多米诺在一个充满广场的地方？

我无法看到如何将此转换为匹配问题，如前一种情况所做的那样。但是，我也没有看到为什么这个问题会立即成为NP难的特殊原因，因此可能有一个多项式时间解决问题。

是否有解决此问题的有效算法？或者是否有人有减少表明这个问题是NP难的？

非常感谢！

Answer 1

致基思：

出色的工作和很棒的解释！虽然，我写了一个程序，找到最大的倾斜，并发现了一个缺陷。希望这可以修复！ [更新：Keith解决了这个问题！]

请查看此链接： http://pastebin.com/bABQmfyX（分析了您的小工具，以及非常方便的c ++源代码）

问题是下面的小工具可以平铺6个多米诺骨牌：

y*** ***z
   * *
   ***
   ***
   *x*

-Tom Sirgedas

Answer 2

真是个好问题。这个问题相当于在特殊图上找到最大独立集大小（或最大集团大小） - 顶点将是MxN矩形的所有可能位置，如果它们发生碰撞，边将连接这两个位置。然后找到最大独立集的大小得到结果。反之亦然，我们可以将边缘定义为连接两个不会发生碰撞的位置，然后我们会寻找最大的团体大小。无论如何，这两个图既不是无爪也不完美，所以我们不能使用多项式解来找到最大的独立集/ clique。

因此，我们可以尝试将最大独立集问题转换为此平铺问题，但我找不到如何将常规图转换为此方法，因为您无法转换，例如诱导K _1,5子图到瓷砖。

Answer 3

1x3瓷砖通过从立方平面单调One-in-three 3SAT减少而变硬。我们必须建立一些“电路”来编码公式。

“门”：

X********Y

强制从外部覆盖X和Y中的一个。用于链接变量及其否定。

Y***
   *
   *
  ooo  ****
  * *  *  *
  * *  *  *
  X ****  Z

强制从外部覆盖X和Y以及Z中的任何一个或全部。用于复制X或销毁同一件事的三个副本。使用长度为3 L的碎片可以或多或少地任意塑造导线。

*******************
*        *        *
*        *        *
X        Y        Z

强制从外部覆盖X和Y以及Z中的一个。每个条款一个。

Answer 4

我要做的第一件事就是建立第三种状态：“空洞，但无法到达”。您可以很容易地证明每个瓷砖在l * w * m * n时间内无法到达（其中l是世界的长度，w是世界的宽度，m和n是瓷砖的尺寸）。这将减少您的空间，以便可以访问任何空的图块。请注意，您可能拥有可到达的磁贴岛。最简单的例子是世界减少了一半。这有助于递归努力，每个可达性岛都被视为一个世界本身。

现在我们正在处理一个岛屿（可能是或可能不是正方形）你基本上有一个特殊情况的2D背包问题，这个问题已知为NP-hard （{ {3}}在以前的工作中）。您通过在背包中添加始终填充的固定位置来增加问题的复杂性，但通过使所有包装具有相同的尺寸来降低复杂性（略微）。

推广多米诺骨牌拼贴算法？

5 个答案: