平铺三角网格

Question

设计并解释递归的分而治之算法。有人有想法吗？

如图1（b）所示，给定k≥2的等腰三角网格，这个问题要求你用图1（a）中给出的图块完全覆盖它。不得覆盖网格的左下角。没有两个瓷砖可以重叠，并且所有瓷砖必须完全保留在给定的三角形网格内。您必须使用图1（a）中所示的所有四种类型的图块，并且不能使用图块类型来覆盖总网格区域的40％以上。在将它们放在网格上之前，您可以根据需要旋转切片。

Answer 1

这确实是感应的概念，类似于着名的例子"L-Tile" covering

正如你所说，你已经解决了k = 2的问题，它首先解决小例子是一个好的和正确的起点，但我认为这个问题对于k = 2的情况有点棘手，主要是由于每种类型不能超过40％约束。

然后对于k> 2，在你的例子中说k = 3，我们尝试利用你已经解决的东西，即k = 2

通过非常简单的观察，人们可能会注意到，对于k = n，它实际上可以由4 k = n-1个案例组成（见下图）

现在中间的阴影部分形成一个可以填充1个B型的孔，所以我们可以先填充4个小的n-1个案例并用B型填充这个洞......

但是这个结构面临一个问题： B型将超过该区域的40％！

考虑k = 2，无论你如何填充该区域，必须使用2型B，我没有强有力的证明，但是通过一些暴力线索＆amp;错误你应该被说服。然后对于k = 3，我们有4个小三角形意味着我们有2 * 4 = 8 B型，加上1个以上填充孔将给我们9个B型，每个使用1.5平方单位，总共用掉13.5平方单位。

当k = 3时，总面积为（2 ​​^ 3）^ 2/2 = 32平方单位 13.5 / 32 = 0.42 ....这违反了约束！

那该怎么办？这就是为什么我们必须使用一个技巧来处理k = 2的情况（我假设你已经完成了这个部分，因为你说你知道怎么做k = 2的情况）

首先，我们知道使用我们的建设性方法从4个较小的三角形构建一个大三角形，只有B型会违反这个约束（即40％区域），你可以自己验证。所以我们想减少使用的B型总数，但是每个较小的三角形必须使用至少2个B型，所以我们可以减少的唯一地方是大三角形中间的空洞，我们可以使用其他类型代替B型？同时，我们希望小三角形的其他部分保持不变，以便我们可以使用相同的参数来进行归纳（即一般来说，使用相同的形式从4 2 ^（n-1）个三角形形成2 ^ n个三角形施工方法）

如果我们特别设计k = 2案例，答案是肯定的 请参阅下面的构造:(也可能有其他建筑工程，但我只需要知道一个）

诀窍是我故意在空（灰色）三角形旁边移动1个B型 我们暂时停在这里，做一些验证：

要构建一个k = 2的案例，我们使用

• 2类型A = 2平方英寸＆lt; 40％
• 2类型B = 3平方英寸＆lt; 40％
• 1类型C = 1.5平方英寸＆lt; 40％
• 1类型D = 1平方单元＆lt; 40％

总使用7.5平方米，好

现在假设我们使用完全相同的方法来构造那些4个三角形来构成一个大的，中间的一个仍然是一个B型的空洞，但是现在不是用1个B类填充，我们填写孔与它们旁边的3型B紧密相连（回顾k = 2的情况），使用A型和A型。 d （我使用与上面相同的颜色方案以便于理解），我们对所有3个构成中间孔的小三角形进行此操作。

这是最后一部分（我知道它很长......） 我们减少了从较小的三角形构造一个大三角形时使用的B型的数量，但同时我们增加了A型和A型的数量。 D用了！那么这种新的施工方法是否有效？

首先注意它不会改变小三角形的任何部分，除了灰色三角形旁边的类型B，即如果满足40％约束，则此方法是归纳的并且递归以填充2 ^ n侧三角形< / p>

然后让我们再次计算我们使用的每种类型的数量。

对于k = 3，总单位为32，我们使用：

• 2 * 4 + 3 = 11类型A = 11平方英寸＆lt; 40％
• 2 * 4-3 = 5 B型= 7.5平方毫米＆lt; 40％
• 1 * 4 = 4类型C = 6平方英寸<1 40％
• 1 * 4 + 3 = 7类型D = 7平方英寸＆lt; 40％

总计我们覆盖31.5个单位，好，现在让我们证明k = n＆gt;满足40％约束。 3

设FA（n-1）是使用我们的新方法填充2 ^ n-1个三角形的A类总面积，同样，FB（n-1），FC（n-1），FD（n） -1）具有相似的定义

假设F *（n-1）为真，即不超过总面积的40％，我们证明F *（n）为真。

我们得到了

FA(n) = FA(n-1)*4 + 3*1

FB(n) = FB(n-1)*4 - 3*1.5

FC(n) = FC(n-1)*4

FD(n) = FD(n-1)*4 + 3*1

我们只显示FD（n）的证据，其他三个应该用类似方法证明（M.I。）

使用替换方法FD(n) = 2*(4^(n-2)) - 1 for n>=3（你至少应该尝试自己提出这个等式）

我们想要展示FD(n)/(2^2(n)/2) < 0.4

即。 2FD(n)/4^n < 0.4

考虑LHS，

LHS =（4 *（4 ^（n-2）） - 1）/ 4 ^ n

＆LT; 4 ^（n-1）/ 4 ^ n = 1/4 < 0.4 Q.E.D

这意味着使用这种方法，对于任何2 ^ k双边三角形，所有类型AD都不会超过总面积的40％，对于k> = 3，最后我们显示归纳，有一种方法满足所有约束构造这样的三角形。

<强> TL; DR

1. 困难的部分是满足40％的面积限制
2. 首先在k = 2的情况下使用特殊结构，尝试使用它来构建k = 3的情况（然后k = 4，k = 5 ......感应的想法！）
3. 当使用k = n-1的情况构建k = n的情况时，记下每种类型消耗的总面积的公式，并表明它们不会超过总面积的40％
4. 组合点2＆amp; 3，它是一种感应方法，表明对于任何k> = 2，有一种方法（我们描述）填充2 ^ k边三角形而不破坏任何约束