多项式最小不动点的有效计算

Question

设p（x）表示所讨论的多项式。 P的最小不动点（LFP）是x的最小值，使得x = P（x）。多项式具有实系数。一般不能保证存在LFP，但如果度数是奇数且≥3，则保证存在LFP。如果度数为3，我知道有效的解决方案.x = P（x）因此0 = P（ x）的-x。有一个封闭形式的立方公式，求解x有点微不足道，可以硬编码。度数2和1同样容易。这是我遇到麻烦的更复杂的案例，因为我似乎无法想出任意程度的好算法。

编辑：

我只考虑真正的固定点并且在它们中间最少，不一定是具有最小绝对值的固定点。

Answer 1

使用您最喜欢的数值方法解决f(x) = P(x) - x。例如，您可以迭代

x_{n + 1} = x_n - P(x_n) / (P'(x_n) - 1).

您通常不会找到封闭式公式，因为there aren't any closed-form formula for quintic and higher polynomials。因此，对于五重和更高的程度，你有使用某种数值方法。

Answer 2

因为你想要最不固定的点，所以如果没有找到P（x） - x的所有真实根并且选择最小值，你就无法逃脱。

查找多项式的所有根是一个棘手的主题。如果您有黑盒子例程，那么一定要使用它。否则，请考虑以下技巧：

• 形成M {（3）}的P（x） - x
• 找到M
的所有特征值

但这要求您可以访问用于查找特征值的例程（这是另一个棘手的问题，但是有很多好的库）。

否则，您可以实施companion matrix算法，这是一个非常重要的代码。

我真的不建议找到零（例如牛顿的方法）和Jenkins-Traub直到你达到一级：如果做得不好就会非常不稳定，你会失去很多准确性（并且用它来解决多个根是非常困难的）。这样做的正确方法实际上是上面提到的Jenkins-Traub算法。

Answer 3

这个问题试图找到“最小”（这里我不确定你的意思是数量级，还是实际上最小的，可能是最负的）多项式的根。对于很大程度的多项式没有封闭形式的解，但是有许多数值方法可以找到根。

通常情况下，Wikipedia是开始搜索的好地方。

如果要查找最小根，则可以使用rule of signs确定存在的间隔，然后使用一些数值方法在该间隔中查找根。