特定发行版的pdf

Question

我是Matlab的新手。我想用Matlab检查所谓的“对数定律”，以确定随机矩阵，但仍然不知道如何。

对数定律：

设A是一个随机伯努利矩阵（条目是iid，取值+ -1，大概为1/2），大小为n乘n。我们可能想要将（log（det（A ^ 2）） - log（factorial（n-1）））/ sqrt（2n）的概率密度函数与高斯分布的pdf进行比较。对数定律表明，当n接近无穷大时，第一个的pdf将接近第二个的pdf。

我的Matlab任务非常简单：检查比较，比如说n = 100。谁知道怎么做？

感谢。

Answer 1

考虑以下实验：

n = 100;                           %# matrix size
num = 1000;                        %# number of matrices to generate

detA2ln = zeros(num,1);
for i=1:num
    A = randi([0 1],[n n])*2 - 1;  %# -1,+1
    detA2ln(i) = log(det(A^2));
end

%# `gammaln(n)` is more accurate than `log(factorial(n-1))`
myPDF = ( detA2ln - gammaln(n) ) ./ sqrt(2*log(n));
normplot(myPDF)

请注意，对于大型矩阵，A * A的行列式将太大而无法以双数表示，并将返回Inf。但是，我们只需要行列式的日志，并且存在其他方法来查找此结果，从而使计算保持对数级。

在评论中，@ yoda建议使用特征值detA2(i) = real(sum(log(eig(A^2))));，我还在FEX上找到了一个具有类似实现的submission（使用LU或Cholesky分解）