Question

以下伪代码来自算法设计手册的在线预览版本的第一章（来自this PDF的第7页）。

这个例子是一个有缺陷的算法，但我仍然真的想要理解它：

[...]一个不同的想法可能是重复连接最近的一对连接不会产生问题的端点，例如提前终止循环。每个顶点都以它自己的身份开始单顶点链。将所有内容合并后，我们将结束一条链包含其中的所有点。连接最后两个端点为我们提供了一个循环。在执行期间的任何步骤这个最近对启发式算法，我们将有一组单顶点和顶点不相交的链可用于合并。在伪代码中：

ClosestPair(P)
    Let n be the number of points in set P.
    For i = 1  to n − 1 do
        d = ∞
        For each pair of endpoints (s, t) from distinct vertex chains
            if dist(s, t) ≤ d then sm = s, tm = t, and d = dist(s, t)
        Connect (sm, tm) by an edge
    Connect the two endpoints by an edge

请注意，sm和tm应为s _m和t _m

首先，我不明白“来自不同的顶点链”意味着什么。其次，i用作外循环中的计数器，但i本身实际上从未在任何地方使用过！有人比我更聪明，请解释这里真正发生的事情吗？

Answer 1

在解释欧内斯特弗里德曼希尔（接受回答）后，我就是这样看的。

所以来自同一本书的例子（图1.4）。我已经为顶点添加了名称以使其清晰 Figure 1.4

所以在第一步所有顶点都是单顶点链，所以我们连接A-D，B-E和C-F对，它们之间的b / c距离最小。

在第二步，我们有3条链，A-D和B-E之间的距离与B-E和C-F之间的距离相同，所以我们将A-D与B-E连接起来，我们留下了两条链--A-D-E-B和C-F

在第三步，连接它们的唯一方法是通过B和C，b / c B-C比B-F，A-F和A-C短（记住我们只考虑链的端点）。所以我们现在有一条链A-D-E-B-C-F。

在最后一步，我们连接两个端点（A和F）以获得一个循环。

Answer 2

1）描述说明每个顶点总是属于“单顶点链”（即，它是单独的）或它属于另一个链;顶点只能属于一个链。该算法在每个步骤中说明您选择每个可能的两个顶点对，每个顶点都是它们所属的相应链的端点，并且不属于同一个链。有时候他们会成为单身人士;有时一个或两个已经属于一个非平凡的链，所以你将加入两个链。

2）你重复循环 n 次，这样你最终选择每个顶点;但是，实际的迭代计数不用于任何事情。重要的是你运行循环足够多次。

Answer 3

虽然问题已经得到解答，但这里是最近对启发式的python实现。它从作为链的每个点开始，然后连续扩展链以构建包含所有点的一个长链。这个算法确实建立了一条路径，但它不是一个机器人手臂运动的序列，因为这个手臂起始点是未知的。

import matplotlib.pyplot as plot
import math
import random


def draw_arrow(axis, p1, p2, rad):
    """draw an arrow connecting point 1 to point 2"""
    axis.annotate("",
              xy=p2,
              xytext=p1,
              arrowprops=dict(arrowstyle="-", linewidth=0.8, connectionstyle="arc3,rad=" + str(rad)),)


def closest_pair(points):
    distance = lambda c1p, c2p:  math.hypot(c1p[0] - c2p[0], c1p[1] - c2p[1])
    chains = [[points[i]] for i in range(len(points))]
    edges = []
    for i in range(len(points)-1):
        dmin = float("inf")  # infinitely big distance
        # test each chain against each other chain
        for chain1 in chains:
            for chain2 in [item for item in chains if item is not chain1]:
                # test each chain1 endpoint against each of chain2 endpoints
                for c1ind in [0, len(chain1) - 1]:
                    for c2ind in [0, len(chain2) - 1]:
                        dist = distance(chain1[c1ind], chain2[c2ind])
                        if dist < dmin:
                            dmin = dist
                            # remember endpoints as closest pair
                            chain2link1, chain2link2 = chain1, chain2
                            point1, point2 = chain1[c1ind], chain2[c2ind]
        # connect two closest points
        edges.append((point1, point2))
        chains.remove(chain2link1)
        chains.remove(chain2link2)
        if len(chain2link1) > 1:
            chain2link1.remove(point1)
        if len(chain2link2) > 1:
            chain2link2.remove(point2)
        linkedchain = chain2link1
        linkedchain.extend(chain2link2)
        chains.append(linkedchain)
    # connect first endpoint to the last one
    edges.append((chains[0][0], chains[0][len(chains[0])-1]))
    return edges


data = [(0.3, 0.2), (0.3, 0.4), (0.501, 0.4), (0.501, 0.2), (0.702, 0.4), (0.702, 0.2)]
# random.seed()
# data = [(random.uniform(0.01, 0.99), 0.2) for i in range(60)]
edges = closest_pair(data)
# draw path
figure = plot.figure()
axis = figure.add_subplot(111)
plot.scatter([i[0] for i in data], [i[1] for i in data])
nedges = len(edges)
for i in range(nedges - 1):
    draw_arrow(axis, edges[i][0], edges[i][1], 0)
# draw last - curved - edge
draw_arrow(axis, edges[nedges-1][0], edges[nedges-1][1], 0.3)
plot.show()

这个最近邻算法中“来自不同顶点链”的含义是什么？

3 个答案: