我有一组圆形,在二维平面上具有给定的位置和半径。我想确定每个圆圈是否与任何其他圆相交,以及将两者分开所需的距离。在我目前的实现中,我只是通过所有可能的圆组合然后进行计算。不幸的是,这个算法是O(n ^ 2),这很慢。
圆圈通常会成组聚集,并且它们将具有相似(但不同)的半径。圆圈的近似最大值约为200.算法不一定非精确,但应该接近。
这是我目前在JavaScript中的一个(慢)实现:
// Makes a new circle
var circle = function(x,y,radius) {
return {
x:x,
y:y,
radius:radius
};
};
// These points are not representative of the true data set. I just made them up.
var points = [
circle(3,3,2),
circle(7,5,4),
circle(16,6,4),
circle(17,12,3),
circle(26,20,1)
];
var k = 0,
len = points.length;
for (var i = 0; i < len; i++) {
for (var j = k; j < len; j++) {
if (i !== j) {
var c1 = points[i],
c2 = points[j],
radiiSum = c1.radius+c2.radius,
deltaX = Math.abs(c1.x-c2.x);
if (deltaX < radiiSum) {
var deltaY = Math.abs(c1.y-c2.y);
if (deltaY < radiiSum) {
var distance = Math.sqrt(deltaX*deltaX+deltaY*deltaY);
if (distance < radiiSum) {
var separation = radiiSum - distance;
console.log(c1,c2,separation);
}
}
}
}
}
k++;
}
另外,如果您用简单的英语解释一个好的算法(KD树?),我将不胜感激: - /
答案 0 :(得分:3)
首先,如果您刚刚跳过SQRT调用,上面的算法将大大加快。这是用于比较距离的最着名的简单优化。您还可以预先计算“平方半径”距离,这样就不会冗余地重新计算它。
此外,您的某些算法中还存在许多其他小错误。以下是我对如何修复它的看法。
另外,如果你想摆脱O(N-Squared)算法,你可以看一下kd-tree。构建KD树的前期成本很高,但是可以更快地搜索最近的邻居。
function Distance_Squared(c1, c2) {
var deltaX = (c1.x - c2.x);
var deltaY = (c1.y - c2.y);
return (deltaX * deltaX + deltaY * deltaY);
}
// returns false if it's possible that the circles intersect. Returns true if the bounding box test proves there is no chance for intersection
function TrivialRejectIntersection(c1, c2) {
return ((c1.left >= c2.right) || (c2.right <= c1.left) || (c1.top >= c2.bottom) || (c2.bottom <= c1.top));
}
var circle = function(x,y,radius) {
return {
x:x,
y:y,
radius:radius,
// some helper properties
radius_squared : (radius*radius), // precompute the "squared distance"
left : (x-radius),
right: (x+radius),
top : (y - radius),
bottom : (y+radius)
};
};
// These points are not representative of the true data set. I just made them up.
var points = [
circle(3,3,2),
circle(7,5,4),
circle(16,6,4),
circle(17,12,3),
circle(26,20,1)
];
var k = 0;
var len = points.length;
var c1, c2;
var distance_squared;
var deltaX, deltaY;
var min_distance;
var seperation;
for (var i = 0; i < len; i++) {
for (var j = (i+1); j < len; j++) {
c1 = points[i];
c2 = points[j];
// try for trivial rejections first. Jury is still out if this will help
if (TrivialRejectIntesection(c1, c2)) {
continue;
}
//distance_squared is the actual distance between c1 and c2 'squared'
distance_squared = Distance_Squared(c1, c2);
// min_distance_squared is how much "squared distance" is required for these two circles to not intersect
min_distance_squared = (c1.radius_squared + c2.radius_squared + (c1.radius*c2.radius*2)); // D**2 == deltaX*deltaX + deltaY*deltaY + 2*deltaX*deltaY
// and so it follows
if (distance_squared < min_distance_squared) {
// intersection detected
// now subtract actual distance from "min distance"
seperation = c1.radius + c2.radius - Math.sqrt(distance_squared);
Console.log(c1, c2, seperation);
}
}
}
答案 1 :(得分:0)
这篇文章已经蛰伏了很长时间,但是我已经遇到并且很好地解决了这个问题,所以会发布,以便其他人不必做同样的搔抓。
您可以将最近的圆邻居问题视为kd树或八叉树中的3d点最近邻搜索。将两个圆A和B之间的距离定义为
D(A,B) = sqrt( (xA - xB)^2 + (yA - yB)^2 ) - rA - rB
如果圆圈重叠,则为负数。对于这个讨论,我将假设一个八叉树,但k = 3的kd树是相似的。
在每个圆圈的八叉树中存储三重(x,y,r)。
要查找目标圆T的最近邻居,请使用标准算法:
def search(node, T, nst)
if node is a leaf
update nst with node's (x,y,r) nearest to T
else
for each cuboid C subdividing node (there are 8 of them)
if C contains any point nearer to T than nst
search(C, T, nst)
end
end
此处nst
是对到目前为止找到的最近圆圈的引用。最初它是空的。
稍微棘手的部分是确定if C contains any point nearer to T than nst
。为此,考虑C中的唯一点(x,y,r)就足够了,该点是欧几里德在x和y中最接近T并且具有包含在长方体中的r范围的最大值。换句话说,长方体表示一组圆,其中心在x和y的矩形区域上并且具有半径范围。您要检查的点是表示中心最接近T且半径最大的圆的点。
注意,T的半径根本不参与算法。你只是在其他任何一个圆圈 T的中心位置有多远。 (我希望现在看起来就像现在一样明显......)