在C ++中为> 2维实现多元高斯概率密度函数

Question

我正在努力在C ++中实现多元Gaussian的概率密度函数，并且我坚持如何最好地处理尺寸＆gt;的情况。 2。

高斯的pdf可以写成

其中（A）'或A'表示通过从x的所有元素中减去均值而创建的'矩阵'的转置。在该等式中，k是我们具有的维数，sigma表示协方差矩阵，其是k×k矩阵。最后，| X |表示矩阵X的行列式。

在单变量案例中，实施pdf是微不足道的。即使在双变量（k = 2）的情况下，它也是微不足道的。但是，当我们超过两个维度时，实施起来会更加艰难。

在双变量情况下，我们有

其中rho是x和y之间的相关性，相关性等于

在这种情况下，我可以使用Eigen::Matrix<double, Eigen::Dynamic, Eigen::Dynamic>来实现第一个等式，或者只使用第二个等式自己计算所有内容，而不会受益于Eigen的简化线性代数接口。

我对尝试多变量案例的想法可能首先将上述等式扩展到多变量案例

与

我的问题是：

1. 是否适合/建议使用boost::multi_array n维数组，或者我应该尝试利用Eigen？
2. 我是否应该为单变量/双变量情况提供单独的功能， 或者我应该将它全部抽象到使用的多变量情况 boost :: multi_array（或一个合适的替代方案）？

Answer 1

我在这里有点偏离我的元素，但有些想法：

首先，从编程视图来看，股票回答是“个人资料”。也就是说，首先将它编码为更清晰的方式。然后分析您的执行情况，看看优化是否值得。恕我直言，使用矩阵库来更接近原始数学可能更清楚。

从数学角度来看：我对你为多变量案例提供的公式有点怀疑。它看起来不对我。表达式 Z 应该是二次形式，而 Z 则不是。除非我遗漏了什么。

这是你没有提到的选项，但可能有意义。特别是如果您要为单个发行版多次评估PDF。首先计算您的分布的主要组成部分。也就是说，Σ的特征基础。主成分方向是正交的。在主成分基础上，交叉协方差都是0，因此PDF具有简单的形式。当您想要评估时，将输入的基础更改为主要组件基础，然后对其执行更简单的PDF计算。

这个想法是你可以预先计算基础矩阵和主成分的变化，然后每次评估只需要进行单个矩阵乘法（基础的变化），而不是评估所需的两个矩阵乘法标准基础中的(x-μ)' Σ (x-μ)。

Answer 2

我基本上实现了exp - this question中三维情况的等式的一部分。我首先使用了一个名为OpenCV的计算机视觉库。但我注意到C ++界面非常慢。之后我尝试了C接口，这有点快。最后，我决定忽略灵活性和可读性，所以我在没有任何库的情况下实现它，而且速度更快。

我想说的是：当性能很重要时，您应该考虑以尽可能少的开销为最常用的维度实现特殊情况。否则选择可维护性超速。

免责声明：我对Eigen或boost::multi_array的速度一无所知（这可能是这个问题的真正目标？）。