使用泰勒级数逼近 sin

Question

我正在尝试使用泰勒级数而不使用阶乘来计算 sin(x)。

import math, time
import matplotlib.pyplot as plot

def sin3(x, i=30):
    x %= 2 * math.pi
    n = 0
    dn = x**2 / 2
    for c in range(4, 2 * i + 4, 2):
        n += dn
        dn *= -x**2 / ((c + 1) * (c + 2))
    return x - n

def draw_graph(start = -800, end = 800):
    y = [sin3(i/100) for i in range(start, end)]
    x = [i/100 for i in range(start, end)]

    y2 = [math.sin(i/100) for i in range(start, end)]
    x2 = [i/100 for i in range(start, end)]

    plot.fill_between(x, y, facecolor="none", edgecolor="red", lw=0.7)
    plot.fill_between(x2, y2, facecolor="none", edgecolor="blue", lw=0.7)
    plot.show()

当您运行 draw_graph 函数时，它使用 matplotlib 绘制图形，红线是我的 sin3 函数的输出，蓝线是 math.sin 的正确输出方法。

正如您所看到的曲线不太正确，它不够高或不够低（似乎在 0.5 处达到峰值），并且还有奇怪的行为，它在 0.25 附近生成一个小峰值然后再次下降。如何调整我的函数以匹配 math.sin 的正确输出？

Answer 1

sin(x) 的方程错误，而且循环不变量也搞砸了。

sin(x) 的公式是 x/1! - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7!...，所以我真的不知道您为什么要将 dn 初始化为涉及 x^2 的内容。

你还想问自己：我的循环不变式是什么？当我到达循环开始时 dn 的值是多少。从您更新 dn 的方式可以清楚地看出，您希望它涉及 x^i / i!。然而在循环的第一次迭代中，i=4，但 dn 涉及 x^2。

这是你想写的：

def sin3(x, i=30):
    x %= 2 * math.pi
    n = 0
    dn = x
    for c in range(1, 2 * i + 4, 2):
        n += dn
        dn *= -x**2 / ((c + 1) * (c + 2))
    return n