Question

这应该是一个简单的问题。我是Coq的新手。

我想定义独占或Coq（据我所知，这不是预定义的）。重要的是允许多个命题（例如Xor A B C D）。

我还需要两个属性：

(Xor A1 A2 ... An)/\~A1 -> Xor A2... An
(Xor A1 A2 ... An)/\A1 -> ~A2/\.../\~An

我目前无法为未定义数量的变量定义函数。我试着手动定义两个，三个，四个和五个变量（这就是我需要的数量）。但后来证明这些属性是一种痛苦，而且看起来非常低效。

Answer 1

好吧，我建议你从Xor开始获得2个参数并证明它的属性。

然后，如果你想概括它，你可以定义Xor获取参数列表 - 你应该能够使用你的2参数Xor定义它并证明它的属性。

我可以提供更多细节，但我认为自己做这件事更有趣，让我知道它是怎么回事:)。

Answer 2

鉴于你的第二个属性，我认为你对独家或更高级别的定义是“这些命题中的一个是真的”（而不是“这些命题的奇数是真的”或“这些命题中的至少一个”是真的，至少有一个是假的“，这是其他可能的概括。”

此独占或非关联属性。这意味着你不能只将高阶xor定义为xor（A1，...，An）= xor（A1，xor（A2，...））。您需要一个全局定义，这意味着类型构造函数必须采用参数列表（或其他一些数据结构，但列表是最明显的选择）。

Inductive xor : list Prop -> Prop := …

您现在有两个合理的选择：从第一原则中归纳地构建xor的定义，或者调用列表谓词。列表谓词将是“匹配此谓词的列表中有一个唯一元素”。由于标准列表库没有定义这个谓词，并且定义它比定义xor稍微困难，我们将归纳为xor。

参数是一个列表，所以让我们分解案例：

空列表的xor始终为false;
如果满足以下两个条件中的任何一个，则列表(cons A L)的xor为真：
- A为真，L的所有元素均为真;
- A是假的，L的一个元素恰好是真的。

这意味着我们需要在命题列表nand上定义辅助谓词，以表征虚假命题列表。这里有很多可能性：折叠/\运算符，手动导入，或调用列表谓词（再次，不在标准列表库中）。我会手工导入，但折叠/\是另一个合理的选择。

Require Import List.
Inductive nand : list Prop -> Prop :=
  | nand_nil : nand nil
  | nand_cons : forall (A:Prop) L, ~A -> nand L -> nand (A::L).
Inductive xor : list Prop -> Prop :=
  | xor_t : forall (A:Prop) L, A -> nand L -> xor (A::L)
  | xor_f : forall (A:Prop) L, ~A -> xor L -> xor (A::L).
Hint Constructors nand xor.

您要证明的属性是反转属性的简单推论：给定构造类型，分解可能性（如果您有xor，则它是xor_t或者xor_f）。这是第一个的手动证明;第二个是非常相似的。

Lemma xor_tail : forall A L, xor (A::L) -> ~A -> xor L.
Proof.
  intros. inversion_clear H.
    contradiction.
    assumption.
Qed.

您可能需要的另一组属性是nand与内置连接之间的等价关系。例如，这是nand (A::nil)等同于~A的证明。证明nand (A::B::nil)等同于~A/\~B等等只是更加相同。在向前方向上，这又是一个反转属性（分析nand类型的可能构造函数）。在向后的方向上，这是构造函数的简单应用。

Lemma nand1 : forall A, nand (A::nil) <-> ~A.
Proof.
  split; intros.
    inversion_clear H. assumption.
    constructor. assumption. constructor.
Qed.

您可能在某些时候也需要替换和重新排列属性。以下是一些您可能想要证明的关键引理（这些应该不是很困难，只需引入正确的东西）：

forall A1 B2 L, (A1<->A2) -> (xor (A1::L) <-> xor (A2::L))
forall K L1 L2, (xor L1 <-> xor L2) -> (xor (K++L1) <-> xor (K++L2))
forall K A B L, xor (K++A::B::L) <-> xor (K::B::A::L)
forall K L M N, xor (K++L++M++N) <-> xor (K++M++L++N)

如何在Coq中定义Xor并证明其属性

2 个答案: