Question

的问题：

我想实施Jacobi method。它类似于定点方法：

Xn+1 = P Xn +Q

if X* verify X=PX +Q 

then if Xn converge then it converge to X*

让我说我成功找到alpha＆lt; 1这样：

||PX|| < alpha * ||X||（通常alpha是P的特征值的最大值，但这里没关系）

然后我的方法会收敛。

的复杂性：

我想计算这种算法的复杂性。假设我想要|| Xn-X * ||小于epsilon。对于给定的α，我可以计算n，以便验证上述不等式。但在我的情况下，我可以证明这种alpha存在，但我没有他的价值。

是否存在计算此类迭代方法的复杂性的方法而不知道明确的alpha？

提前致谢

Answer 1

没有更多信息：没有。

为了有一个绑定，你需要证明过程在所有alpha值上的统一收敛。但这种趋同不存在（除非你有更强的条件，例如alpha < 0.9

不确定为什么你不能生成一个建设性的过程来找到一个上限＆lt; 1如果你可以证明存在，就在alpha上。大多数证明方法收敛只是找到一个相关的范数，其中矩阵范数<1。 1 通过明确查找其值。

无论如何，这是一个矛盾的证明。

<强> PROOF

让epsilon > 0。
假设我们可以将迭代次数限制在f(x)的{{1}}。{。} 即如果f: R+ --> N我们假设所有e_n = ||Xn - X*||。

我们会显示存在有效的alpha和n > f(epsilon). e_n < epsilon，N。

关键的观察是注意我们的函数N > f(epsilon). e_N > epsilon与alpha的值无关。我们假设迭代过程中存在一些上界而不知道alpha的值，只有f。因此，找到满足该条件的alpha就足以打破alpha<1上的初始假设，从而达到我们想要的矛盾。

这一点很精细，因为有效边界f 的存在实际上依赖于alpha，因为假设它限制了基于alpha的矩阵的迭代被定义为”。虽然由于alpha本身是未知的，我们必须证明f对于所有的alpha值都是有效的，这就是我们从正常收敛转变为均匀收敛的地方。

我们选择了我们的epsilon，我们选择了f。根据我们的假设N = f(epsilon)+1，我们只需假设e_N < epsilon alpha = (2*epsilon/e_0) ^ 1/2N，否则我们可以用任何值替换epsilon＆lt; 1。

2*epsilon/e_0 < 1

正如我所说的，没有额外的信息，很容易构建e_n+1 = || X(n+1) - X* || = || PXn + Q - PX* - Q || = || P(Xn - X*) || <= ||P|| ||Xn-X*|| = ||P|| e_n，使得上面的不等式是实际的平等。例如，P为所有真实P = I*k产生相等性。因此存在k P

我们的最后一点观察是，即使e_n+1 = ||P|| e_n = ... = ||P||^(n+1) * e_0存在||PX|| < alpha * ||X||，也可能X。例如，如果||PX|| > alpha^2 * ||X||我们知道P = I * alpha并且上述内容适用于所有alpha<1。（同样，由于X上没有其他信息，因此可能存在P这一事实就足够了。）

如果我们插入我们的X，我们会得出以下结论：

alpha

数字不能大于自身。

QED。

迭代方法的复杂性？

的问题：

的复杂性：

1 个答案: