我正在尝试从通常用于指定晶体学单位细胞的参数生成一些轴向量。这些参数由三个轴的长度组成：a，b，c和它们之间的角度：alpha，beta，gamma。按惯例，alpha是b和c轴之间的角度，beta是a和c之间的角度，a和b之间是gamma。
现在获取前两个的矢量表示很容易。我可以任意设置a轴到x轴，所以a_axis = [a，0,0]。然后我需要旋转b远离a角度伽玛，所以我可以留在xy平面中这样做，并且b_axis = [b * cos（gamma），b * sin（gamma），0]。
问题是第三个向量。我无法找出一个很好的清洁方法来确定它。我已经找到了一些不同的解释，但没有一个已经淘汰出局。一个是想象围绕轴axis_a和axis_b有两个锥体，其大小由角度α和β指定。这些锥体的交点产生两条线，正z方向的一条线可以用作长度为c的axis_c的方向。
有人知道我应该如何确定axis_c吗？
感谢。
答案 0 :(得分：2)
已知长度的两个向量 u，v 之间的角度α可以从它们的内部（点）乘积＆lt; u，v＆gt;中找到：
cos（alpha）=＆lt; u，v＆gt; /（|| u || || v ||）
也就是说，alpha的余弦是两个向量的内积除以它们长度的乘积。
所以你的第三个z分量可以是任何非零值。在获得正确的角度后缩放任何或所有轴向量不会改变角度，所以让我们假设（比方说）Cz = 1.
现在前两个矢量也可能是A =（1,0,0）和B =（cos（gamma），sin（gamma），0）。这两个都长度为1，因此选择C满足的两个条件是：
cos（alpha）=＆lt; B，C＆gt; / || C ||
cos（beta）=＆lt; A，C＆gt; / || C ||
现在我们只有两个未知数，Cx和Cy，需要解决。为了简单起见，我将把它们称为x和y，即C =（x，y，1）。因此：
cos（alpha）= [cos（gamma）* x + sin（gamma）* y] / sqrt（x ^ 2 + y ^ 2 + 1）
cos（beta）= x /（sqrt（x ^ 2 + y ^ 2 + 1）
将第一个等式除以第二个等式（假设β不是直角！），我们得到：
cos（alpha）/ cos（beta）= cos（gamma）+ sin（gamma）*（y / x）
是求解比率r = y / x的线性方程。一旦你有了，在上面的第二个等式中用y = rx代替并且平方给出x的二次方程：
cos ^ 2（beta）*（（1 + r ^ 2）x ^ 2 + 1）= x ^ 2
cos ^ 2（beta）=（1 - cos ^ 2（beta）*（1 + r ^ 2））x ^ 2
x ^ 2 = cos ^ 2（beta）/ [（1 - cos ^ 2（beta）*（1 + r ^ 2））]
通过对方程求平方，我们引入了一个神器根，对应于选择x的符号。因此，请检查“原始”第二个等式中的x解决方案，以确保获得cos（beta）的正确符号。
<强>加了：
如果beta是一个直角，事情就比上面简单。强制使用x = 0，我们只需求解y的第一个等式：
cos（alpha）= sin（gamma）* y / sqrt（y ^ 2 + 1）
分母和乘以分母得到y的二次方，类似于我们之前的方法。请记住检查您对y的标志的选择：
cos ^ 2（alpha）*（y ^ 2 + 1）= sin ^ 2（gamma）* y ^ 2
cos ^ 2（alpha）= [sin ^ 2（gamma） - cos ^ 2（alpha）] * y ^ 2
y ^ 2 = cos ^ 2（alpha）/ [sin ^ 2（gamma） - cos ^ 2（alpha）]
实际上，如果角度α，β，γ之一是直角，那么最好标记角度伽玛（在前两个矢量A，B之间）以简化计算。
答案 1 :(得分：1)
这是一种找到所有Cx，Cy，Cz（前两个与其他答案相同）的方法，假设A =（Ax，0,0），B =（Bx，By，0），并假设| C | = 1
1）cos（beta）= AC /（| A || C |）= AxCx / | A | =＆GT; Cx = |A|cos(beta)/Ax = cos(beta)
2）cos（alpha）= BC /（| B || C |）=（BxCx + ByCy）/ | B | =＆GT; Cy = (|B|cos(alpha)-Bx cos(beta))/By
3）为了找到Cz，让O为（0,0,0）处的点，T为（Cx，Cy，Cz）处的点，P为T on Oxy的投影，Q为T的投影牛。所以P是（Cx，Cy，0）处的点，Q是（Cx，0,0）处的点。因此，从直角三角形OQT我们得到
tan（beta）= | QT | / || OQ | = | QT | / Cx
从右三角形TPQ得到| TP | ^ 2 + | PQ | ^ 2 = | QT | ^ 2。所以
Cz = |TP| = sqrt(|QT|^2 - |PQ|^2) = sqrt( Cx^2 tan(beta)^2 - Cy^2 )
答案 2 :(得分：0)
我不确定这是否正确，但我不妨一试。希望我不会得到十亿美元的投票......
我懒得按照必要的数量缩放向量，所以我假设它们都被标准化为长度为1.您可以对计算进行一些简单的修改以考虑不同的大小。另外，我将使用*来表示点积。
A =（1,0,0）
B =（cos（g），sin（g），0）
C =（Cx，Cy，Cz）
A * C = cos（beta）//这只是点积的定义。我假设幅度是1，所以我可以跳过那个部分，你说beta是A和C之间的角度。
A * C = Cx //我通过乘以每个相应的值来做到这一点，而Cy和Cz被忽略，因为它们被乘以0
cos（beta）= Cx //合并前两个方程式
B * C = cos（alpha）
B * C = Cx * cos（g）+ Cy * sin（g）= cos（beta）* cos（g）+ Cy * sin（g）
（cos（alpha） - cos（beta）* cos（g））/（sin（g））= Cy
老实说，我不确定如何获得向量C的z分量，但我希望它是一个相对简单的步骤。如果我能搞清楚，我会编辑我的帖子。