Question

问题陈述：

有3个阵列A，B，C都填充正整数，并且所有三个阵列都具有相同的大小。

查找min（| a-b | + | b-c | + | c-a |）其中a在A中，b在B中，c在C中。

整个周末我都在研究这个问题。一位朋友告诉我，它可以在线性时间内完成。我不明白这是怎么可能的。

你会怎么做？

Answer 1

好吧，我想我可以在O（n log n）中完成。如果最初对数组进行排序，我只能做O（n）。

首先，请注意您可以根据需要置换a，b，c，而无需更改表达式的值。因此，x是a，b，c中最小的一个;让y成为三者的中间人;让z成为最大值。然后请注意表达式只等于2*(z-x)。（编辑：这很容易看到......按顺序排列三个数字x < y < z后，总和只有(y-x) + (z-y) + (z-x)等于2*(z-x)）

因此，我们真正想做的就是找到三个数字，使得外面两个尽可能地靠近在一起，另一个数字“夹在”它们之间。

在每个步骤中，您只需向一个索引添加一个;但是在结束之前，你只能为每个阵列执行n次。所以这最多是3*n步，即O（n），小于O（n log n），这意味着总时间为O（n log n）。（或者只是O（n），如果你可以假设数组已经排序。）

草图证明这是有效的：假设A[I]，B[J]，C[K]是a，b，c形式实际答案;即，他们有最低|a-b|+|b-c|+|c-a|。进一步假设a＆gt; b＆gt; c;其他案例的证据是对称的。

引理：在我们游行期间，我们不会在j之前增加J，直到我们将k增加到K之后。证明：我们总是递增最小元素的索引，并在k <= K，B[J] > C[k]时递增。因此，当j=J和k <= K，B[j]不是最小元素时，我们不会增加j。

现在假设我们在k到达K之前将i增加到I之后。在我们执行该增量之前，事情会是什么样子？那么，C[k]是当时三个中最小的一个，因为我们将要增加k。 A[i]小于或等于A[I]，因为i < I和A已排序。最后，j <= J因k <= K（我们的引理），所以B[j]也小于A[I]。总而言之，这意味着我们此时的abs-diff-diff与<{>}相比，这是一个矛盾。

因此，在2*(c-a)到达k之前，我们不会将K增加到i之后。因此，在我们行军I和i=I期间的某个时刻。根据我们的引理，此时k=K小于或等于j。所以在这一点上，J小于其他两个，B[j]将增加;或j介于其他两个之间，我们的总和只是B[j]，这是正确答案。

这个证据很草率;特别是，它未能明确说明2*(A[i]-C[k])，a，b中的一个或多个相等的情况。但我认为细节很容易解决。

Answer 2

我会写一个非常简单的程序：

#!/usr/bin/python
import sys, os, random
A = random.sample(range(100), 10)
B = random.sample(range(100), 10)
C = random.sample(range(100), 10)
minsum = sys.maxint
for a in A:
 for b in B:
  for c in C:
   print 'checking with a=%d b=%d c=%d' % (a, b, c)
   abcsum = abs(a - b) + abs(b - c) + abs(c - a)
   if abcsum < minsum:
    print 'found new low sum %d with a=%d b=%d c=%d' % (abcsum, a, b, c)
    minsum = abcsum

一遍又一遍地测试，直到我看到一些模式出现。我在这里找到的模式是预期的：每组中最接近的数字，无论数字是“高”还是“低”，都是产生最小最小和的数字。所以它成为最接近数字的问题。无论价值多少，可能都不多。

绝对值之和的最小值

2 个答案: