使用mathematica计算特征值的问题

Question

基本上我试图找到矩阵的特征值，大约需要12个小时。当它完成时，它说它找不到所有的特征向量（实际上几乎没有），而且我对它找到的那些特征向量持怀疑态度。我所能做的就是发布我的代码，我希望有人可以向我提出一些建议。我对mathematica不太熟悉，也许运行时间慢，结果不好与我有关，而不是mathematica的能力。感谢任何回复的人，我真的很感激。

cutoff = 500; (* set a cutoff for the infinite series *)
numStates = cutoff + 1; (* set the number of excited states to be printed *)
If[numStates > 10, numStates = 10];

    $RecursionLimit = cutoff + 256; (* Increase the recursion limit to allow for the specified cutoff *)
(* set the mass of the constituent quarks *)
m1 := mS; (* just supposed to be a constant *)
m2 := 0;

(* construct the hamiltonian *)
h0[n_,m_] := 4 Min[n,m] * ((-1)^(n+m) * m1^2 + m2^2);

v[0,m_] := 0;
v[n_,0] := 0;
v[n_,1] := (8/n) * ((1 + (-1)^(n + 1)) / 2);
v[n_,m_] := v[n - 1, m - 1] * (m/(m - 1)) + (8 m/(n + m - 1))*((1 + (-1)^(n + m))/2);

h[n_,m_] := h0[n,m] + v[n,m];

(* construct the matrix from the hamiltonian *)
mat = Table[h[n,m], {n, 0, cutoff}, {m, 0, cutoff}] // FullSimplify;

(* find the eigenvalues and eigenvectors, then reverse the order *)
PrintTemporary["Finding the eigenvalues"];
{vals, vecs} = Eigensystem[N[mat]] // FullSimplify;

$RecursionLimit = 256; (* Put the recursion limit back to the default *)

我的代码还有一些，但这是真正放慢速度的重点。我应该提到的一点是，如果我将m1和m2都设置为零，我实际上没有任何问题，但将m1设置为常量会使一切都变得地狱。

Answer 1

你的问题是常数mS仍然是象征性的。这意味着Mathematica试图分析求解特征值而不是数值。如果您的问题允许您为mS选择数值，则应该这样做。

另一个不相关的问题是，您使用的是递归公式，并且您希望在以下行中使用例如memoization

v[n_, m_] := v[n, m] = v[n - 1, m - 1]*(m/(m - 1)) 
                     + (8 m/(n + m - 1))*((1 + (-1)^(n + m))/2);

额外的v[n, m] =存储了给定n和m的值，因此您不必每次都v[0,0]递归到h[n, m] Table[]在{{1}}中调用。

用这两件事来照顾我的旧核心2 duo花了不到一分钟来做特征值。

Answer 2

这是蒂莫回答的后续行动。我想展示一个数字，所以我把它作为答案而不是评论。

假设您要查找具有501 x 501符号元素的矩阵的特征值。 [BTW你称之为常数，但这是用词不当。常量只是定义的，带有名称的固定值。你在蒂莫答案的评论中所描述的是一个象征性的变量。]​​

很高兴看到完全符号矩阵对特征值计算的作用。这是一个2 x 2矩阵：

Array[f, {2, 2}] // Eigenvalues

(* ==> 
 {1/2 (f[1, 1]+f[2, 2]-Sqrt[f[1, 1]^2+4f[1, 2] f[2, 1]-2 f[1, 1] f[2, 2]+f[2, 2]^2]), 
 1/2(f[1, 1]+f[2, 2]+Sqrt[f[1, 1]^2+4 f[1, 2] f[2, 1]-2 f[1, 1] f[2, 2]+f[2, 2]^2])}   
*)

它占用Array[f, {2, 2}] // Eigenvalues//ByteCount = 3384字节。这种爆炸速度非常快：7x7解决方案已占用70 MB（找到这个解决方案需要几分钟）。实际上，在矩阵大小和字节数之间存在很好的关系：

拟合函数为：字节数= E ^（2.2403067075863197 + 2.2617380321848457 x矩阵大小）。

如您所见，在宇宙结束之前不会找到501 x 501符号矩阵的特征值。

[BTW什么是矩阵的占有形式？]