Question

我一直在搜索谷歌，但找不到任何基本的东西。在它最基本的形式中，如何实现双重轮廓（对于体素地形）？我知道它做了什么，为什么，但无法理解如何做到这一点。 JS或C＃（最好）是好的。有没有人之前使用过双轮廓线并可以简单解释一下？

Answer 1

确定。所以今晚我感到无聊，并决定自己实施双重轮廓。正如我在评论中所说，所有相关材料都在以下文件的第2部分中：

http://www.frankpetterson.com/publications/dualcontour/dualcontour.pdf

特别是，网格的拓扑结构在以下部分的第2.2部分中描述，引用：

对于每个表现出符号变化的立方体，生成一个位于等式1的二次函数的最小值处的顶点。



对于表现出符号变化的每条边，生成连接包含边缘的四个立方体的最小顶点的四边形。

这就是它的全部！解决线性最小二乘问题以获得每个立方体的顶点，然后使用四边形连接相邻顶点。因此，使用这个基本思想，我使用numpy在python中编写了一个双轮廓isosurface提取器（部分只是为了满足我自己对它如何工作的病态好奇心）。这是代码：

import numpy as np
import numpy.linalg as la
import scipy.optimize as opt
import itertools as it

#Cardinal directions
dirs = [ [1,0,0], [0,1,0], [0,0,1] ]

#Vertices of cube
cube_verts = [ np.array([x, y, z])
    for x in range(2)
    for y in range(2)
    for z in range(2) ]

#Edges of cube
cube_edges = [ 
    [ k for (k,v) in enumerate(cube_verts) if v[i] == a and v[j] == b ]
    for a in range(2)
    for b in range(2)
    for i in range(3) 
    for j in range(3) if i != j ]

#Use non-linear root finding to compute intersection point
def estimate_hermite(f, df, v0, v1):
    t0 = opt.brentq(lambda t : f((1.-t)*v0 + t*v1), 0, 1)
    x0 = (1.-t0)*v0 + t0*v1
    return (x0, df(x0))

#Input:
# f = implicit function
# df = gradient of f
# nc = resolution
def dual_contour(f, df, nc):

    #Compute vertices
    dc_verts = []
    vindex   = {}
    for x,y,z in it.product(range(nc), range(nc), range(nc)):
        o = np.array([x,y,z])

        #Get signs for cube
        cube_signs = [ f(o+v)>0 for v in cube_verts ]

        if all(cube_signs) or not any(cube_signs):
            continue

        #Estimate hermite data
        h_data = [ estimate_hermite(f, df, o+cube_verts[e[0]], o+cube_verts[e[1]]) 
            for e in cube_edges if cube_signs[e[0]] != cube_signs[e[1]] ]

        #Solve qef to get vertex
        A = [ n for p,n in h_data ]
        b = [ np.dot(p,n) for p,n in h_data ]
        v, residue, rank, s = la.lstsq(A, b)

        #Throw out failed solutions
        if la.norm(v-o) > 2:
            continue

        #Emit one vertex per every cube that crosses
        vindex[ tuple(o) ] = len(dc_verts)
        dc_verts.append(v)

    #Construct faces
    dc_faces = []
    for x,y,z in it.product(range(nc), range(nc), range(nc)):
        if not (x,y,z) in vindex:
            continue

        #Emit one face per each edge that crosses
        o = np.array([x,y,z])   
        for i in range(3):
            for j in range(i):
                if tuple(o + dirs[i]) in vindex and tuple(o + dirs[j]) in vindex and tuple(o + dirs[i] + dirs[j]) in vindex:
                    dc_faces.append( [vindex[tuple(o)], vindex[tuple(o+dirs[i])], vindex[tuple(o+dirs[j])]] )
                    dc_faces.append( [vindex[tuple(o+dirs[i]+dirs[j])], vindex[tuple(o+dirs[j])], vindex[tuple(o+dirs[i])]] )

    return dc_verts, dc_faces

它不是很快，因为它使用SciPy的通用非线性根寻找方法来找到等值面上的边缘点。但是，它似乎确实运行得相当好并且以相当通用的方式运行。为了测试它，我使用以下测试用例（在Mayavi2可视化工具包中）运行它：

import enthought.mayavi.mlab as mlab

center = np.array([16,16,16])
radius = 10

def test_f(x):
    d = x-center
    return np.dot(d,d) - radius**2

def test_df(x):
    d = x-center
    return d / sqrt(np.dot(d,d))

verts, tris = dual_contour(f, df, n)

mlab.triangular_mesh( 
            [ v[0] for v in verts ],
            [ v[1] for v in verts ],
            [ v[2] for v in verts ],
            tris)

这将球体定义为隐式方程，并通过双轮廓线求解0-等值面。当我在工具包中运行它时，结果是：

enter image description here

总之，它似乎有效。

基本的双轮廓理论

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