Question

我需要计算数组上某个范围内的总和，因此遇到了细分树和Fenwick树，我注意到这两个树都以相同的渐近运行时间进行查询和更新。我做了一些研究，这两个数据结构似乎以相同的速度完成了所有工作。两者都具有线性内存使用率（Segment Tree使用的内存是后者的两倍）。

除了运行时间/内存和实现方面的恒定因素之外，我是否还有理由选择一个而不是另一个？

我正在寻找一个客观的答案，例如某些操作比另一种操作更快，或者某些限制条件之一是另一种操作却没有。

我还看到了另外两个关于StackOverflow的问题，但是答案仅描述了这两种数据结构，而不是解释何时一种数据结构可能比另一种更好。

Answer 1

我在 cp-Algorithm 上发现了一些可能对您有帮助的信息。

段树 -

在 O(logN) 中回答每个查询
在 O(N) 中完成预处理
优点：时间复杂度高。
缺点：与其他数据结构相比，代码量更大。

芬威克树 -

在 O(logN) 中回答每个查询
在 O(NlogN) 中完成预处理
优点：最短的代码，良好的时间复杂度
缺点：Fenwick树只能用于L=1的查询，所以是不适用于很多问题。

Answer 2

评论 Harsh Hitesh Shah 的回答：反对使用 Fenwick 树的最后一点一般不成立。反例证明：假设我们有一个用于前缀和的 Fenwick 树，函数 query(x) 返回从第一个索引 1 开始到包括索引 x 的前缀和。如果我们想计算某个区间 [L, R] 的总和，其中 1 < L <= R <= N，我们可以采用 query(R)-query(L-1)。

Answer 3

我read this on Quora。希望您觉得有用。

有些树可以执行，但是BIT无法完成：BIT本质上可以用于累积数量。当需要间隔[i..j]的累积量时，可以找到[1 ... j]和[1 ... i-1]的累积量之差。这仅因加法具有反运算而起作用。如果操作是不可逆的（例如max），则不能执行此操作。另一方面，可以将分段树上的每个间隔视为不相交间隔的并集，并且不需要逆运算
BIT所需要的内存仅为段树的一半：如果受虐狂的内存限制，您几乎会陷入使用BIT
尽管BIT和段树操作均为O（log（n）），但段树操作具有较大的恒定因子：在大多数情况下，这无关紧要。但是再一次，如果您有受虐时间限制，则可能需要从段树切换为BIT。如果BIT / Segment树是多维的，则常数因子可能会成为一个更大的问题。

Answer 4

一些附加信息：

段树可以存储也可以隐式存储（就像堆一样），这将占用 2n 空间
Fenwick 树是一种在线数据结构，这意味着您可以在末尾添加元素，就像数组一样，它仍然可以工作。默认情况下，段树没有此属性。如果您隐式存储它们，您可以通过将段树的大小加倍（就像摊销的 O(log(n)) 数组一样）在摊销的 O(1) 中实现追加和前置操作。您需要研究段树在内存中的样子，然后相应地放置新空间（您不能只将所有额外空间放在一端）。请记住，由于段树已经占用了 2n 空间，因此每次将数组加倍时，您现在都会使用 4n 空间
Fenwick 树的实现速度更快且极其。渐近边界是等价的，但最基本的查询和更新代码几乎是无分支的、非递归的，并且使用的操作很少。它的段树版本几乎可以同样快地制作，但这确实需要额外的努力。值得庆幸的是，这仅在非常大的输入中很重要，因为隐式存储段树具有出色的空间局部性，与存储指针相比，这给了它一个很好的提升
Fenwick 树无法计算 log(n) 中的反向查询（据我所知）；也就是说，例如，如果我们要存储部分和，我想知道什么索引 i 评估为部分和 s，这将需要 log(n)^2。这个过程在 log(n) 中对于段树来说是微不足道的
段树可以执行多种其他查询，其中许多在 Fenwick 树上是不可能的。当然，您要为这种额外的灵活性付出 2n 存储成本

编辑：您可以在 log(n) 中计算此查询！这是我的实现：

def find(self, s):
    b = 1
    while b < len(bit):
        b <<= 1
    b >>= 1
    index = 0
    cur = 0
    while b > 0:
        if bit[index + b] + cur <= s:
            index += b
            cur += bit[index]
        b >>= 1
    return (index, cur)

这将返回最接近目标部分总和的索引和总和（将始终是 <= 目标）。但是，我认为这不适用于 BIT 中的负数。

好的段树写法：https://cp-algorithms.com/data_structures/segment_tree.html

芬威克树vs细分树

4 个答案: