芬威克树中的点更新

Question

我很难理解如何将LSB添加到当前索引如何为我们提供包含给定点的下一个位置。

void update(int k, int x) {
    while (k <= n) {
        tree[k] += x;
        k += k&-k; // adding LSB (least significant bit)
    }
}

任何人都可以向我解释或参考一些资源吗？我所见过的所有资源都只是告诉您它有效，但没有解释原因。我知道查询的工作原理。

谢谢。

P.S我在这里看到了同样的问题，但是我仍然不明白，因为他们并没有真正解释。

Answer 1

从根本上理解

Fenwick Tree 数据结构可能非常棘手，但是一旦您了解了基础数学，就应该很擅长。因此，我将尝试解释有关 Fenwick树的所有如何 -s和为什么 -s。

Fenwick树基于索引的二进制表示形式

首先，您应该牢牢了解：

Fenwick树的

思想基于这样一个事实：每个整数都可以表示为二进制数，即不同2的幂的和，并且该表示将是唯一的；例如整数14可以表示为2 ³ +2 ² +2 ¹ 。

^{请注意，不同是此定义中的重要部分，因此您不应将14表示为2 3 +2 1 < / sup> +2 1 +2 1 。}

如何种植芬威克树

在这里我不会实现 Fenwick树人口算法（您说过，您了解了树的填充方式，此外，它与问题无关）；但是，我要强调一个事实， Fenwick树 [主要]是通过数组实现的，在某种程度上， fenwick-tree 数组中的每个插槽都具有一个值，它是原始数组的范围之和，并且：

该范围内的
1. 右索引是 k 本身（此插槽是右边界）；
该范围内的
2. 元素数是该索引的二次幂之和表示中的最小加数。

因此，如果 Fenwick树在索引24处存储了一些 n 值，则意味着原始间隔[17，24]的总和数组，将为 n 。

问：为什么左边是17？
A ：因为24是2 ⁴ +2 ³ ，而该表达式中的最小加数是2 ³ =8。现在，根据上面给出的定义，对 Fenwick Tree 数组中索引24处的元素求和的范围将包含8个元素，如果右边界恰好在索引24本身，左边界为17，我们在包含范围[17,24]中有8个元素。

这张图片甚至可以清楚地说明我在上面写的内容：

重要提示：

将整数表示为2的不同次幂之和，这是基于二进制数字系统的原理。

例如，1011可以写为2 ³ +2 ¹ +2 ⁰ 。

以二进制表示形式的最左列构成2乘以3的幂，以最右列形式构成2乘以3的幂。在二进制表示形式中，从最右边的列到2的幂每步增加1。左边。

如果您了解二进制数字系统，则应该了解，当将某个数字 N 表示为两个不同幂的和时，该数字中的最小数字总和是一样的，与 N 的二进制表示形式的一部分从最低有效位（LSB）开始，到该二进制表示形式的最右位数，与幂2相同 indexOf （LSB）-1（如果从右边开始用1索引二进制数）或 indexOf （LSB）（如果用0）。

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这一切给了什么？

更快速的范围查询

查看范围查询在Fenwick树中的工作方式。

希望您理解我们需要前缀和来进行范围查询。

为了计算原始[0，index]的前缀和，而不是遍历整个数组，您现在只需在相应的 Fenwick树中向下层叠，从该 index 中，您连续从那些索引中的值中删除LSB ，同时继续对所有这些索引中的值进行求和（这些值是原始数组）。

这看起来像：

int prefixSum(int index) {
    int sum = 0;
    while(index!=0) {
        sum+=fenwickTree[index];
        index = index - LSB(index);
    }
    return sum;
}

问：为什么这样做？
A ：我认为现在应该很明显，但是如果仍然没有，那么请密切注意我们为何删除LSB（index）。之所以这样做，是因为您在计算前缀总和的同时将fenwickTree[index]添加到当前总和中，正如我们上面已经解释过的那样，下一个存储了另一个原始数组间隔切片的插槽，将位于index = index - LSB(index)，因为在 Fenwick树中，索引 k 存储长度为[2 ^{LSBIndexOf（toBinary（k））的间隔-1} ，k]

因此，根据我们刚刚显示的内容（级联，求和和index-LSB(index)），对于 Fenwick树，索引11（例如）的前缀和为计算为：

prefixSum = fenwickTree[11] + fenwickTree[10] + fenwickTree[8]

因为：

1. fenwickTree[11]存储original[11]的总和（奇数索引仅存储这些索引处的值）；
2. fenwickTree[10]存储original[9,10]的总和；
3. fenwickTree[8]存储original[1, 8]的总和。

基本上，您可以总结出3个切片：[1,8]，[9,10]和[11]。

更快的点更新

查看点更新在Fenwick树中的工作方式。

我认为，很明显， Point Update 的工作原理和原因-就LSB而言，这是范围查询的相反操作-而不是删除LSB （索引），您将添加LSB（索引），现在将UP级联到索引，并更新 Fenwick树中的相应索引。

例如，如果我们想在索引9处添加一个值，则必须找出所有负责该索引的插槽，然后必须对其进行更新。我们必须从索引9元素的LSB开始获取数字，并且必须将其添加到索引9的值。我们必须一直重复此操作，直到到达其中LSB是该索引本身的数字的位置为止。就是这样。

void update(int i, int x) {
    while (i <= n) {
        fenwickTree[i] += x;
        i += LSB(i); //this will give you the next slot which is used as an addend
    }
}

我真的希望这对您有所帮助，并且可以帮助您理解。