Question

这与Check if one integer is an integer power of another上的问题相同，但是我想知道解决此问题的方法的复杂性。

给定一个整数n，给一个整数m和另一个整数n = m^p是p。请注意，^是幂运算，而不是xor。

有一个简单的O（log_m n）解决方案，该解决方案基于将n反复除以m直到其为1或存在非零余数。

我正在考虑一种受二进制搜索启发的方法，我不清楚在这种情况下应如何计算复杂度。

基本上，您从m开始，然后转到m^2，然后依次到m^4，m^8，m^16等。找到m^{2^k} > n时，检查由m^{2^{k-1}}和m^{2^k}界定的范围。这个解决方案是O(log_2 (log_m(n)))吗？

如果我做类似的事情，与此有关

m^2 * m^2

vs。

m * m * m * m

这两个是否具有相同的复杂性？如果他们这样做，那么我认为我想出的算法仍然是O(log_m (n))

Answer 1

不完全是。首先，让我们假设乘法是O(1)，乘幂a^b是O(log b)（使用平方运算）。

现在，使用将指数p_candidate加倍然后进行二进制搜索的方法，您可以在p个步骤中找到真实的log(p)（或者观察到p不存在）。但是在二进制搜索中，每次尝试都需要您计算m^p_candidate，它受m^p的限制，假设O(log(p))。因此，总体时间复杂度为O(log^2(p))。

但是我们要用输入n和m来表示时间复杂度。从关系n = m^p中，我们得到p = log(n)/log(m)，因此得到log(p) = log(log(n)/log(m))。因此，总体时间复杂度为

O(log^2(log(n)/log(m)))

如果您想摆脱m，则可以使用来提供更宽松的上限

O(log^2(log(n)))

，它与O(log(log(n)))接近，但不完全相同。（请注意，由于所有对数函数仅相差一个常数，因此您始终可以省略O表示形式的对数底数。）

现在，有趣的问题是：此算法是否优于O(log(n))的算法？我还没有证明，但是我可以肯定O(log^2(log(n)))在O(log(n))中是这种情况，反之亦然。有人愿意证明吗？

检查一个整数是否是另一个的整数幂？

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