只需要前k位数时的快速取幂？

Question

这实际上是为了编程比赛，但我已经非常努力，甚至没有得到最微弱的线索如何做到这一点。

找出n ^m 的第一个和最后一个k位数，其中n和m可以非常大~10 ^ 9.

对于最后的k位数，我实现了模幂运算。

对于第一个k，我想到使用二项式定理达到某些幂，但这涉及到因子的大量计算，我不知道如何找到n ^ m可以扩展为的最佳点（x + Y）^米

那么有没有已知的方法来查找前k个数字而不执行整个计算？

更新 1＆lt; = k＆lt; = 9且k总是＆lt; = n ^{m中的数字}

Answer 1

不确定，但身份n ^m = exp10（m log10（n））= exp（q（m log（n）/ q））其中q = log（10）来到请注意，exp10（x）的前K个数字= exp10的前K个数字（frac（x）），其中frac（x）= x = x - floor（x）的小数部分。

更明确：n ^m 的前K个数字是其mantissa = exp（frac（m log（n）/ q）* q的前K个数字） ，其中q = log（10）。

或者你甚至可以在这个会计练习中更进一步，并使用exp（（frac（m log（n）/ q）-0.5）* q）* sqrt（10），它也具有相同的尾数（+因此相同的前K个数字），以便exp（）函数的参数以0为中心（在+/- 0.5 log 10 = 1.151之间），以便快速收敛。

（一些例子：假设你想要2 ¹⁰⁰ 的前5位数。这等于exp的前5位数（（frac（100 log（2）/ q）-0.5）* q ）* sqrt（10）= 1.267650600228226。根据MATLAB，2 ¹⁰⁰ 的实际值是1.267650600228229e + 030，我没有方便的bignum库。尾数为2 ^{1,000,000,000} 我得到了4.612976044195602但是我真的没有办法检查...... Mersenne primes上有一个页面，其中某人已经完成了艰苦的工作; 2 ^20996011 -1 = 125,976,895,450 ...我的公式给出了在MATLAB中计算的1.259768950493908，它在第9位后失败。）

我可能会使用Taylor series（对于exp 和log ，而不是n ^m ）及其错误界限，并继续添加术语，直到错误界限低于前K个数字。 （通常我不使用泰勒级数进行函数逼近 - 它们的误差被优化为在单个点附近最精确，而不是超过期望的间隔 - 但它们的优势在于它们在数学上很简单，而且你只需添加附加术语即可将精度提高到任意精度。

对于对数，我会使用你最喜欢的近似值。

Answer 2

好。我们想要计算并且只获得 n 的第一个数字。

通过以下迭代计算：

你有。 不完全计算每个。 问题是的相对误差较小 比 n 乘以 a 的相对误差。

您希望最终相对误差小于。 因此，每个步骤的相对误差可能是。 删除每一步的最后一位数字。

例如，a = 2，b = 16，n = 1。最终相对误差为10 ^ { - n} = 0,1。 每个步骤的相对误差是0,1 / 16> 0.001。 因此，每个步骤的3个数字很重要。 如果n = 2，则必须保存4位数。

2（1），4（2），8（3），16（4），32（5），64（6），128（7），256（8），512（9），1024（ 10） - ＆gt; 102， 204（11），408（12），816（13），1632（14） - ＆gt; 163,326（15），652（16）。

答案：6。

此算法具有 O（b）的复杂性。但很容易改变它 O（log b）

Answer 3

假设你在每一步截断？不确定这将是多么准确，但是，例如，采取 N = 11 m =一些大数字 你想要前2位数。

递归：

1. 11 x 11 - ＆gt; 121，truncate - ＆gt; 12（1截断或舍入） 然后取截断值并再次提升

2. 12 x 11 - ＆gt; 132 truncate - ＆gt; 13 重复，

3. （132截断）×11 - > 143。 ...

最后添加＃0相当于你已完成的截断数。

Answer 4

你看过exponentiation by squaring了吗？您可以修改其中一种方法，以便只计算必要的内容。

在我上一次的算法课上，我们必须实现类似于你正在做的事情，我依旧记得这个页面很有用。