了解浮点表示错误;我的想法有什么问题？

Question

我无法理解为什么有些数字不能用浮点数表示。

众所周知，普通浮点数会有符号位，指数和尾数。例如，为什么不能在这个系统中准确地表示0.1;我想到的方式是你将10（1010 in bin）放到尾数，-2放到exponent。据我所知，这两个数字都可以在尾数和指数中准确表示。那么为什么我们不能准确地代表0.1？

Answer 1

如果你的指数是十进制的（即它代表10 ^ X），你可以精确地表示0.1 - 但是，大多数浮点格式使用二进制指数（即它们代表2 ^ X）。由于X和Y没有整数Y * (2 ^ X) = 0.1，因此在大多数浮点格式中无法精确表示0.1。

某些语言的类型包含两个指数。例如，在C＃中，有一个名为decimal的数据类型，它是一个带小数指数的浮点格式，所以它支持存储一个0.1之类的数字，尽管它有其他不常见的属性：{{1} }类型可以区分decimal和0.1，0.10的所有值x + 1 != x始终为真。

但是，对于大多数常见目的，C＃还具有x和float浮点类型，它们无法精确存储0.1，因为它们使用二进制指数（如IEEE-754中所定义）。二进制浮点类型使用较少的存储，更快，因为它们更容易实现，并且在它们上定义了更多操作。通常，double仅用于财务值，其中所有十进制值的确切表示很重要，而操作的存储，速度和范围不是。

Answer 2

您必须开始阅读What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic

退房：

• Floating-Point Number Tutorial
• Tutorial: Floating-Point Binary

Answer 3

IEEE 754标准中的每个浮点数实际上是某个整数乘以2的整数次幂。例如，3由3 * 2 ⁰ 表示，96由3 * 2 ³ 表示，并且3/16由3 * 2 ^{-4 <表示/ SUP>}

没有整数x和y使得.1 = x * 2 ^y ，因此.1不能用浮点数精确表示。证明：如果.1 = x * 2 ^y ，那么10x = 2 ^-y 。 2 ^-y 显然是正的，所以x是正的。它也是一个整数，因此10x可以被10整除，所以它可以被5整除。因此2 ^-y 是2的幂，可以被5整除，这显然是不可能的。

Answer 4

那将是10×2 ^-1 = 5，而不是0.1。

一般来说，它就像在十分之一中代表三分之一：只有有限数字的数字才有可能。

顺便说一句，10 ₁₀ = 1010 ₂ ≠1100 ₂ 。

Answer 5

您正在考虑1 * 10 ^ -1，它适用于decimal floating number表示，例如C＃中的十进制。正常浮点（例如float，double）使用二进制表示，即以2

的幂表示

通常，使用二进制是因为它们可以更有效地按比特排列。当需要绝对小数精度时，通常使用十进制，例如在计算货币时。