使用离散方法计算导数

Question

我正在寻找一种使用离散和快速方法计算导数的方法。由于现在我不知道我所拥有的等式的类型，我正在寻找类似于我们可以为积分找到的离散方法，例如欧拉方法。

Answer 1

我认为你正在寻找一个点计算的导数。 如果是这种情况，这里有一个简单的方法。你需要知道某一点的导数，比如 a 。它由h-> 0的差商的极限给出：

您实际上需要实现限制功能。所以你：

• 定义一个epsilon，将其设置得更小，更精确，更大，更快
• 计算起始h中的差商，假设h = 0.01，将其存储在 f1

• 现在处于DO-WHILE循环中：

  1-将h除以2（或10，重要的是使其变小）
  2-再次计算与h的新值的差商，将其存储在 f2
  中 3-设置 diff = abs（f2-f1）
  4-指定 f1 = f2
  从第1点开始重复而（diff> epsilon）

• 您最终可以将f1（或f2）作为f'（a）
的值返回

记住： 您假设该功能在 a 中是可区分的。 由于计算机可以处理的有限十进制数字的错误，您将得到的每个结果都是错误的，没有逃脱。

python中的示例：

def derive(f, a, h=0.01, epsilon = 1e-7):
    f1 = (f(a+h)-f(a))/h
    while True: # DO-WHILE
        h /= 2.
        f2 = (f(a+h)-f(a))/h
        diff = abs(f2-f1)
        f1 = f2
        if diff<epsilon: break
    return f2

print "derivatives in x=0"
print "x^2: \t\t %.6f" % derive(lambda x: x**2,0)
print "x:\t\t %.6f" % derive(lambda x: x,0)
print "(x-1)^2:\t %.6f" % derive(lambda x: (x-1)**2,0)

print "\n\nReal values:"
print derive(lambda x: x**2,0)
print derive(lambda x: x,0)
print derive(lambda x: (x-1)**2,0)

输出：

derivatives in x=0
x^2:         0.000000
x:       1.000000
(x-1)^2:     -2.000000


Real values:
7.62939453125e-08
1.0
-1.99999992328

我第一次获得“精确”值因为仅使用了结果的前6位数，请注意我使用1e-7作为epsilon。之后打印REAL计算值，它们显然是数学上的选择小ε是多么取决于你想要的结果精确程度。

Answer 2

在计算数值（“有限”）导数时，有相当多的理论（和惯例）。获得所有细节是正确的，这样您相信结果并非易事。如果有任何方法可以获得函数的分析导数（使用笔和纸，或计算机代数系统，如Maple，Mathematica，Sage或SymPy ），这是迄今为止最好的选择。

如果您无法获得分析表格，或者您不知道该功能（只是它的输出），那么数值估算是您唯一的选择。 C中的数字Recipies中的这个chapter是一个好的开始。

Answer 3

一个简单的方法是计算你感兴趣的导数的每个点的f值的变化。例如，要计算∂f/∂x，你可以使用：

epsilon = 1e-8
∂f/∂x(x, y, z) = (f(x+epsilon,y,z) - f(x-epsilon, y, z))/(epsilon * 2);

其他部分在y和z中相似。

为epsilon选择的值取决于f的内容，所需的精度，使用的浮点类型以及可能的其他内容。我建议你用你感兴趣的函数来试验它的值。

Answer 4

要进行数值微分，这总是近似值，有两种常见的情况：

1. 你有一种方法（算法，方程式）来计算任何给定x的f（x）的值，或
2. 在一组等间隔的x（f（1），f（1.5），f（2）等）中有f（x）的值：

1. 如果你有算法，那么你最好看Andrea Ambu's answer *：
   1. 从f（a + h）和f（a-h）的值开始，然后执行
      f'（a）= {f（a + h）-f（a-h）} / 2h
      这被称为中心差异。
   2. 根据Andrea的回答，缩小偏移量h的大小，直到f'（a）停止变化。
   • 小心不要在没有检查大于0的情况下除以2h，否则你会得到除以零的错误。
2. 如果你在一组f（x）= f（x _n ）= f _n 的值中得到函数的值，那么我们可以做点什么类似于上面的方法，但我们的准确性将受到x _n 的值以及它们之间的间隙的限制。
3. 第一个近似就是使用与上述相同的中心差分算子;
   f' _n =（f _{n + 1} - f _n-1 ）/ 2h，
   其中h是x _n 的值之间的相等间距。
4. 接下来是使用five-point stencil，虽然它只有维基百科页面上详细列出的4个系数。这使用从f _n-2 到f _{n + 2} 的值：f' _n =（ - f _{n + 2 < / sub> + 8f n + 1 - 8f n-1 + f n-2 ）/ 12h。}
5. 使用更多的点有更高阶近似值，但它们越来越难以计算收益递减，并且在数值上变得更不稳定。
6. **注意**：这些有限差分公式依赖于f与x _n-1 ≤x≤ _{n + 1} ≤x≤ _{n + 1} ≤x≤ _{n + 1} 中的多项式大致相同的形状。对于像正弦波这样的函数，它们在计算导数时可能非常糟糕。

* Andrea的答案使用前向差分算子{f（a + h） - f（a）} / h而不是中心差分算子{f（a + h） - f（ah）} / 2h，但是前向差分算子在数值解中不太准确。

Answer 5

如果不使用像Maple这样的符号数学语言，你可以做的最好的事情就是在不同的点上逼近导数。 （然后插入，如果你需要一个函数。）

如果您已经拥有了要使用的功能，那么您应该使用backward divided-difference forumla和Richardson extrapolation来改善错误。

另请注意，这些方法适用于一个变量的功能。但是，每个变量的偏导数将其他变量视为常数。

Answer 6

Automatic differentiation是做这种事情最准确，最概念性的方式。只是有点复杂。

Answer 7

正式，不。你要么描述离散函数的（部分）导数，要么就是要求一种数值方法来逼近连续函数的（部分）导数。

离散函数没有导数。如果您查看导数的epsilon-delta定义，您将看到需要能够在接近您想要导数的点处评估函数。如果函数仅具有x，y和z的整数值的值，则没有意义。所以没有办法找到任何快速值的离散函数的导数。

如果你想要一个数值方法精确计算连续函数的导数，那么你运气也不好。导数的数值方法是启发式的，而不是算法的。没有数值方法可以保证精确的解决方案。幸运的是，存在许多良好的启发式方法。 Mathematica默认使用Brent's principle axis method的专用版本。我建议你使用GNU Scientific Library，它有很好的Brent方法实现。我将自己的全部成绩归功于我的一门数学课程。如果那是你的东西，ruby绑定非常好。如有必要，大多数数值微分库都有一些不同的方法可用。

如果你真的想要，我可以提供一些示例代码。让我知道。

Answer 8

我认为你的功能比你发布的简单功能更复杂，因为封闭形式的解决方案太简单了。

当你使用“离散”这个词时，我认为你需要“有限差异”。您需要一些离散化来计算近似值。

Df / Dx~（f2-f1）/（x2-x1）等

Answer 9

我希望这可能会有所帮助NUMERICAL DIFFERENTIATION.

Answer 10

如果函数是线性的，则表明衍生物是微不足道的。关于'x'的导数是'a';关于'y'的导数是'b'，关于'z'的导数是'c'。如果方程是一个更复杂的形式，你需要一个代表解决方案而不是经验解的公式，那么请提交更复杂的方程式。

此致