Question

对于函数式编程专业，我需要在haskell中应用原始递归函数。但是，我还不太了解这类函数的定义（和应用程序）。

我们看到要使用的数据类型为Nat，其构造函数为： 数据Nat =零| Succ Nat

据我所知，这意味着“ Nat”类型可以是零或自然后代。

然后我们有一个递归：

recNat :: a -> (Nat -> a -> a) -> Nat -> a
recNat a _ Zero = a
recNat a h (Succ n) = h n (recNat a h n)

我理解这是将递归应用于函数？

我还给出了使用递归的加法函数示例：

addR :: Nat -> Nat -> Nat
addR m n = recNat n (\ _ y -> Succ y) m

但是我不知道它是如何工作的，它使用带有给定两个Nat的recNat函数，还使用了一个匿名函数作为recNat的输入（那部分我不确定它的作用！）< / p>

所以我的主要问题是，该函数到底在> \ _ y-> Succ y

我应该将相同的递归（RecNat）应用于 Nat ，但是我仍然试图理解该示例！

Answer 1

您说对了，data Nat = Zero | Succ Nat意味着Nat可以是Zero或另一个Succ的{{1}}的元素；这将自然数表示为链接列表，即：

Nat

zero, one, two, three, four, five :: Nat zero = Zero one = Succ Zero -- or: Succ zero two = Succ (Succ Zero) -- Succ one three = Succ (Succ (Succ Zero)) -- Succ two four = Succ (Succ (Succ (Succ Zero))) -- Succ three five = Succ (Succ (Succ (Succ (Succ Zero)))) -- Succ four -- …的功能是将{em> fold 折叠到recNat上：Nat取recNat z k并逐个“倒数”到最后Nat，在每个中间Zero上调用k，然后将Succ替换为Zero：

lambda recNat z k three recNat z k (Succ (Succ (Succ Zero))) -- by second equation of ‘recNat’: k two (recNat z k two) k (Succ (Succ Zero)) (recNat z k (Succ (Succ Zero))) -- by second equation of ‘recNat’: k two (k one (recNat z k one)) k (Succ (Succ Zero)) (k (Succ Zero) (recNat z k (Succ Zero))) -- by second equation of ‘recNat’: k two (k one (k zero (recNat z k zero))) k (Succ (Succ Zero)) (k (Succ Zero) (k Zero (recNat z k Zero))) -- by first equation of ‘recNat’: k two (k one (k zero z)) k (Succ (Succ Zero)) (k (Succ Zero) (k Zero z))的类型为\ _ y -> Succ y；它只是忽略其第一个参数，并返回其第二个参数的后继。以下是a -> Nat -> Nat如何计算两个addR之和的说明：

Nat

如您所见，这里发生的实际上是我们从一个数字中取出每个addR two three addR (Succ (Succ Zero)) (Succ (Succ (Succ Zero))) -- by definition of ‘addR’: recNat three (\ _ y -> Succ y) two recNat (Succ (Succ (Succ Zero))) (\ _ y -> Succ y) (Succ (Succ Zero)) -- by second equation of ‘recNat’: (\ _ y -> Succ y) one (recNat three (\ _ y -> Succ y) one) (\ _ y -> Succ y) (Succ Zero) (recNat (Succ (Succ (Succ Zero))) (\ _ y -> Succ y) (Succ Zero)) -- by application of the lambda: Succ (recNat three (\ _ y -> Succ y) one) Succ (recNat (Succ (Succ (Succ Zero))) (\ _ y -> Succ y) (Succ Zero)) -- by second equation of ‘recNat’: Succ ((\ _ y -> Succ y) zero (recNat three (\ _ y -> Succ y) zero)) Succ ((\ _ y -> Succ y) zero (recNat (Succ (Succ (Succ Zero))) (\ _ y -> Succ y) zero)) -- by application of the lambda: Succ (Succ (recNat three (\ _ y -> Succ y) zero)) Succ (Succ (recNat (Succ (Succ (Succ Zero))) (\ _ y -> Succ y) zero)) -- by first equation of ‘recNat’: Succ (Succ three) Succ (Succ (Succ (Succ (Succ Zero)))) -- by definition of ‘five’: five Succ (Succ (Succ (Succ (Succ Zero))))并将其放在另一个数字的末尾，或者等效地，将Succ替换为一个数字加上另一个数字，即步骤如下：

Zero

内部lambda始终会忽略1+1+0 + 1+1+1+0 2 + 3 1+(1+0 + 1+1+1+0) 1+(1 + 3) 1+1+(0 + 1+1+1+0) 1+1+(0 + 3) 1+1+(1+1+1+0) 1+1+(3) 1+1+1+1+1+0 5的第一个参数，因此使用简单的_定义将recNat替换为值{ {1}}和Zero与功能z：

Succ

然后稍微简化一下添加内容：

字面意思是“要计算recNat' :: a -> (a -> a) -> Nat -> a recNat' z _ Zero = z recNat' z s (Succ n) = s (recNat z s n)和addR' m n = recNat' n Succ m的总和，请向m加n一次。”

如果您为它们创建一个m实例和一个n实例，您可能会发现更容易使用这些数字：

Num

然后，您可以编写Show并将其显示为{-# LANGUAGE InstanceSigs #-} -- for explicitness instance Num Nat where fromInteger :: Integer -> Nat fromInteger n | n <= 0 = Zero | otherwise = Succ (fromInteger (n - 1)) (+) :: Nat -> Nat -> Nat (+) = addR (*) :: Nat -> Nat -> Nat (*) = … -- left as an exercise (-) :: Nat -> Nat -> Nat (-) = … -- left as an exercise abs :: Nat -> Nat abs n = n signum :: Nat -> Nat signum Zero = Zero signum Succ{} = Succ Zero negate :: Nat -> Nat negate n = n -- somewhat hackish instance Show Nat where show n = show (recNat' (+ 1) 0 n :: Int)。

Answer 2

大约recNat x f n用于计算

f (n-1) (f (n-2) (f (n-3) (... (f 0 x))))

因此，它将f应用于x达n次，每次也传递一个“计数器”作为f的第一个参数。

在您的情况下，\_ y -> ...忽略“计数器”参数。因此

addR m n = recNat n (\ _ y -> Succ y) m

可以理解为“计算m+n，将m乘以函数Succ到n。这样可以有效地计算出总和中有((n+1)+1)+1...个的m。

您可以尝试以类似方式计算两个自然数的乘积。使用\_ y -> ...并将乘法表示为重复加法。为此，您需要使用已经定义的addR。

其他提示：乘法后，如果要计算前身n-1，则“ counter”参数将非常方便，因此请不要丢弃它，而应使用\x y -> ...。之后，您可以得出（截断的）减法作为重复的前任。

Haskell中的原始递归函数执行

2 个答案: