Question

有几次我发现我有一个系统，我需要指定所有变量都有不同的值（即非重复）。

我经常做这样的事情：

k = {a, b, c, d, e, f, g}; 
Reduce[
   a != 2 && f == a + b && g == c - d && f == (d + e)/2 && f == e + g &&
   First[And @@@ {0 < # < 8 & /@ k}] && 
   Times@(Sequence @@ (Subsets[k, {2}] /. {x_, y_} -> (x - y))) != 0, 
k, Integers]

Reduce等式的最后部分

Times@(Sequence @@ (Subsets[k, {2}] /. {x_, y_} -> (x - y))) != 0

要求不同的价值观。

有更好的方法吗？（我的意思是，产品不等于零，而是指定I need all variables different）

Answer 1

从速度的角度来看，您在产品条件下会产生很大的开销。如果您的解决方案始终是数字，则可以使用Reduce生成所有解决方案，然后对其进行过滤 - 在某些情况下可能会更快。例如，在手头的情况下：

k = {a, b, c, d, e, f, g};
sl = Reduce[ a != 2 && f == a + b && g == c - d && f == (d + e)/2 && f == e + g &&
      First[And @@@ {0 < # < 8 & /@ k}], k, Integers]

您可以进行后期处理，例如这样（也许不是最佳方式）：

In[21]:= Select[{#, First[k /. Solve[#, k]]} & /@ List @@ sl, 
            MatchQ[Tally[#[[2]], Equal][[All, 2]], {1 ..}] &][[All, 1]]

Out[21]= {a == 3 && b == 2 && c == 7 && d == 6 && e == 4 && f == 5 && g == 1}

至少对于这个特殊情况，它要快得多。

Answer 2

对于小问题，post =处理以删除不需要的解决方案可能是最好的。对于较大的问题，至少有两种有用的方法。

（1）如果允许的值是连续的，或几乎是连续的，则可以为每个原始变量的网格和可能的值创建0-1变量。例如，如果您的变量旨在填写标准的Sudoku数组，则可以使用x [i，j，k] = 1来指示第i行col j中的值为k。例如，约束第1行中的值不会重复

Sum[x[1,j,1]==1, {j,9}]

... Sum [x [1，j，9] == 1，{j，9}]

如果并非所有值都需要在所有地方使用（例如行），那么这些值可能会变成不等式。

（2）另一种方法是，如果需要区分的值，则为每对使用0-1变量。我们假设值范围至少有一个已知的上限和下限。叫它m。所以对于任何一对变量x和y，我们知道差异在-m和m之间（可以在那里加/减，但不是必需的）。

对于需要不同的x [i]和x [j]对，添加一个新变量0-1 k [i，j]。想法是如果x [i]> x [j]则需要为1，如果x [j]> x [i]则需要为0. *

对于这一对，我们添加两个方程。我将以非扩展形式显示它们，因为这可能稍微容易理解。

x[i]-x[j] >= k[i,j] + m*(k[i,j]-1)
x[j]-x[i] >= (1-k[i,j]) + m*(-k[i,j])

如果x [i]> x [j]，则仅对k [i，j] == 1满足两者。反之亦然x [j]＆gt; x [i]和k [i.j] == 0。

当变量可以跨越大大大于变量数量的值范围时，或者当所有对被约束为不同的值时，这可能是首选方法。

Daniel Lichtblau

*星期六晚上很晚，所以我倒退了。还请在你处理时解决所有拼写错误。

Answer 3

为什么不直接提供唯一性约束？

k = {a, b, c, d, e, f, g};
uniqueness = {a != b != e};
sl = Reduce[
  a != 2 && f == a + b && g == c - d && f == (d + e)/2 && f == e + g &&
    First[And @@@ {0 < # < 8 & /@ k}] && First@uniqueness , k, 
  Integers]//Timing

Out[1]= {0.046791, a == 3 && b == 2 && c == 7 && d == 6 && e == 4 && f == 5 && g == 1}

通过粗略地看一下上面的约束，大多数唯一性要求都是由其他约束自我满足，设置a≠b≠e修复了所有剩余的约束。没有必要测试一切。例如，

f = a + b⇒f ≠ a＆amp; f ≠ b
f = e + g⇒f ≠ e＆amp; f ≠ g
2f = d + e⇒f ≠ d∵f ≠ e⇒g ≠ d
c = g + d⇒c ≠ g＆amp; c ≠ d

依此类推......你可以详细解决这个问题。

我知道这可能只是一个测试示例，我没有一个聪明而快速的一站式答案，您可以在不考虑问题的情况下使用。

Mathematica Reduce / Solve：询问非重复值的最佳方式

3 个答案: