降低嵌套循环算法的时间复杂度

Question

我有以下要重写的算法，因此它具有时间复杂度O（n）。我是算法的新手，但据我所知，由于两个for循环都进行n次迭代，因此复杂度始终为O（n ² ）。甚至有可能降低其复杂性吗？

Algorithm example(ArrayA, ArrayB, n)                                           
Input: 2 arrays of integers, ArrayA and ArrayB, both length n          
Output: integer

value <- 0                                                    1 operation
for i <- 0 to n-1                                             n-1 operations
    for j <- 0 to n-1                                         (n-1)^2 operations
        value <- value + (ArrayA[i] * ArrayB[j])              3(n-1)^2 operations
return value                                                  1 operation

原始操作总数：n ² + 2n-1，使其时间复杂度为O（n ² ）。

Answer 1

通过应用一些代数：

这是一种算法，可以在O（n）时间内计算出相同的结果：

sum_A ← 0
for i ← 0 to n-1
    sum_A ← sum_A + ArrayA[i]

sum_B ← 0
for j ← 0 to n-1
    sum_B ← sum_B + ArrayB[j]

return sum_A * sum_B

通常来说，不能总是更改带有嵌套循环的算法来减少时间复杂度；但是在某些情况下，您可以做到这一点，只要您能确定有关计算的特定内容，这意味着可以用其他方法完成。

对于这样的总和，有时可以通过编写代数等价物来更有效地计算结果。因此，遇到此类问题时，请戴上数学家的帽子。

Answer 2

此类操作将仅在n2时间内运行。原因是您必须将i的每个元素与j的每个元素进行比较。例如：

i*j, i*j+1,...,i*j+(n-1)
(i+1)*j, (i+1)*(j+1),...,(i+1)*(j+n-1)
.
.
.
(i+n-1)*j, (i+n-1)*(j+1),...,(i+n-1)*(j+n-1)

没有办法降低复杂性。