Question

minimum coin change problem是NP完全问题，但对于某些硬币组，贪婪算法（首先选择最大面额）起作用。给定一组表示硬币值的整数，确定贪心算法是否足够的最快算法是什么？一个显而易见的方法是建立你的动态编程解决方案，直到最大面额，并看看它是否产生比贪婪方式更好的解决方案。但有没有更快的“数学方法”来检测它？

Answer 1

我最近提出了一个解决方案，似乎表明如果满足给定的2个条件，贪婪算法将产生最优解。

a）G.C.D（除1以外的所有面额）=第2个最小面额。

b）任何2个连续面额的总和必须小于连续第3个面额。

例如。 c2 + c3＆lt; C4。

（其中c1 = 1; c2，c3，c4是按升序排列的硬币面额）。

我知道这不是一个完整的解决方案。但是，我相信如果满足这两个条件，贪婪算法将产生最佳解决方案。

Answer 2

如果以下选择产生目标数量，则贪婪算法将起作用:(可能有更复杂的格式可以使用，但这很简单且线性检查）

让1代表选中。从最大面额的集合看起来像：

11...1100...00100...00

即，从最大的和选择的单个其他元素中选择零个或多个。

为什么这是最优的很容易证明。设C =从最大的s中选择的s元素，然后我们知道C为任何s或更少的元素产生最大可能的总和，因为，如果要替换C中的任何元素，则必须使用较低的元素。有价值的元素，因为已经选择了最大的元素（并且删除也会明显降低成本）。由于C产生的值小于目标值（因为需要另外一个元素），我们需要至少一个其他元素才能到达目标，因此到达目标所需的最小元素数量是s + 1，结论证明。

您需要O（n）来评估这一点，这可以通过以下方式完成:(在Java中）

int[] sortedCoins = ...;
int sum = 0, selectionCount = 0, i = 0;
for (; i < sortedCoins.length; i++)
{
  sum += sortedCoins[i];
  if (sum >= target) break;
  selectionCount++;
}
sum -= sortedCoins[i]; // we added the element to push us over, so remove it again
for (; i < sortedCoins.length; i++)
{
  if (sum + sortedCoins[i] == target)
    return selectionCount+1;
}
return -1; // not found

哦，还有一个小例子，其中target = 0需要检查是否允许。

以上需要一个目标金额，如果你想检查很多目标金额，你可以用O（n ^ 2）中的上述方法生成所有可能的金额，并且有一个计算总和的地图，只是做查找以获取值（如果存在）。

编辑：分支和绑定

作为上述的扩展和DP的替代，我建议用分支和绑定贪婪地处理暴力。使用与上面类似的参数，您知道如果bestCoins具有值(currentSum + (bestCoins - currentCoins) * currentItem.value) < target，则可以跳过当前路径。

请注意，这可能会在某些问题上失败并且在其他问题上表现得非常好（我认为这在很大程度上取决于我们找到合适解决方案的时间）。为了避免永远消失，您可以将最小可能数量的硬币存储在最佳解决方案中（从查看第一个元素得到，直到我们到达目标，类似于上面），并切断远离此的路径。

如果做得对，你应该可以在短时间内运行它，如果它运行完成并且我们有一个解决方案，我们有最佳解决方案，如果没有，我们没有损失太多时间，可以运行另一种算法，如DP。

Answer 3

Pearson 的论文 A polynomial-time algorithm for the change-making problem Operation Research Letters 33:3（2005 年 5 月），第 231-234 页给出了一个多项式时间算法来找到贪婪算法（如果存在）的最小反例。不需要穷举搜索，他的主要定理大大缩小了候选集。

Answer 4

贪婪的解决方案仅适用于某些面额，相对于进行更改的特定金额。

添加后退步骤，然后它不再是贪婪，最终会考虑找到所有可能的解决方案，因此它既不是动态编程问题。

示例：考虑造币= [2,5]，要更改的金额为16。一个贪婪的第一个解决方案首先自然地寻找最大面额，[5,5,5]然后它停留在1。回溯步骤产生另一种解决方案[5,5,2,2,2]。

如何判断贪婪算法是否足以找到最小的硬币变化？

4 个答案: