我理解硬币改变问题的贪婪算法（用尽可能少的硬币支付特定金额）是如何工作的 - 它总是选择具有最大面额但不超过剩余金额的硬币 - 并且它总是找到特定硬币套装的正确解决方案。
但对于某些硬币集，有贪婪算法失败的总和。例如，对于集合{1, 15, 25}和总和30，贪心算法首先选择25，剩余5，然后五个1，总共六个硬币。但是硬币数量最少的解决方案是选择15次。
一组硬币必须满足哪些条件才能使贪婪算法找到所有总和的最小解？
答案 0 :(得分：18)
形成拟阵（https://en.wikipedia.org/wiki/Matroid）的集合可以通过使用贪婪方法来解决硬币变化问题。简而言之，拟阵是一对有序的 M =（S，l）满足以下条件：
在我们的硬币更换问题中，S是一组递减值的所有硬币 我们需要通过S
中的最小硬币数量来获得V值在我们的例子中，l是一个独立的集合，包含所有子集，以便每个子集都包含以下内容：它们中的值的总和为＆lt; = V
如果我们的集合是一个matroid，那么我们的答案是l中的最大集合A，其中没有x可以进一步添加
要检查，我们看看拟阵中的属性是否保持在集合S = {25,15,1}其中V = 30 现在，l中有两个子集： A = {25}且B = {15,15} 自| A | ＆LT; | B |，然后有一些元素x-＆gt; B-A使得A U {x} - > l（根据3） 因此，{25,15}应该属于l，但是自25 + 15> 30
以来它是矛盾的所以，S不是一个拟阵，因此贪婪的方法不适用于它。
答案 1 :(得分：7)
在任何没有硬币的情况下，当加到最低面额时，它的值低于直接小于它的面额的两倍，贪婪算法就可以工作。
即。 {1,2,3}有效，因为[1,3]和[2,2]增加了相同的值 但是{1,15,25}不起作用，因为（对于变化30）15 + 15> 25 + 1
答案 2 :(得分：4)
这是一个复发问题。给定一组硬币{Cn, Cn-1, . . ., 1}，使得对于1 <= k <= n, Ck > Ck-1，如果Ck> 1，则贪婪算法将产生最小数量的硬币。 Ck-1 + Ck-2和值V=(Ck + Ck-1) - 1，将贪婪算法应用于硬币子集{Ck, Ck-1, . . ., 1}，其中Ck <= V导致硬币数量少于应用贪婪算法到硬币子集{Ck-1, Ck-2, . . ., 1}。
测试很简单：对于`1＆lt; = k＆lt; = n测试贪婪算法产生的Ck + Ck-1 - 1的硬币数量。对硬币组{Ck，Ck-执行此操作1 ,. 。 。，1}和{Ck-1，Ck-2 ,. 。 。，1}。如果对于任何k，后者产生的硬币比前者少，则贪心算法将不适用于该硬币集。
例如，当n = 4时，考虑硬币集{C4，C3，C2,1} = {50,25,10,1}。以k = n = 4开始，然后V = Cn + Cn-1 -1 = 50 + 25-1 = 74作为测试值。对于V = 74，G {50,25,10,1} = 7个硬币。 G {25,10,1} = 8个硬币。到现在为止还挺好。现在让k = 3。然后V = 25 + 10-1 = 34。 G {25,10,1} = 10个硬币，但G {10,1} = 7个硬币。因此，我们知道贪婪算法不会最小化硬币组的硬币数量{50,25,10,1}。另一方面，如果我们在这个硬币组中添加一个镍币，则G {25,10,5,1} = 6且G {10,5,1} = 7.同样，对于V = 10 + 5-1 = 14，我们得到G {10,5,1} = 5，但G {5,1} = 6.所以，我们知道，Greedy适用于{50,25,10,5,1}。
这引出了一个问题：什么应该是硬币的面额，满足贪婪算法，这导致从1到100的任何值的最小最坏情况数量的硬币？答案非常简单：100个硬币，每个硬币具有1到100的不同值。可以说这不是很有用，因为它可以在每次交易时线性搜索硬币。更不用说铸造这么多不同面额并跟踪它们的费用。
现在，如果我们想要主要减少面额的数量，同时最小化由Greedy生产的1到100的任何值的硬币结果数量，那么硬币的面额为2：{64,32,16， 8,4,2,1}对于任何值1：100（7位数中最大1的值，其值小于十进制100），最多产生6个硬币。但这需要7种面额的硬币。五种面额{50,25,10,5,1}的最坏情况是8，其发生在V = 94和V = 99。权力为3 {1,3,9,27,81}的硬币也只需要5个面额可供贪婪服务，但也会产生8个硬币的最差情况，值为62和80.最后，使用任何五个面额{64,32,16,8,4,2,1}的子集不能排除'1'，并且满足Greedy，也会产生最多8个硬币。所以有一个线性的权衡。将面额数从5增加到7会减少从8到6分别代表1到100之间的任何值所需的最大硬币数。
另一方面，如果你想最大限度地减少买家和卖家之间交换的硬币数量，假设每个硬币的口袋中至少有一个硬币，那么这个问题就是相当于平衡1到N磅的任何重量所需的最小重量。事实证明，如果硬币面额的权力为3：{1, 3, 9, 27, . . .}，则购买时交换的硬币数量最少。
答案 3 :(得分：1)
今天，我在Codeforces上解决了与此类似的问题（链接将在最后提供）。 我的结论是，要使贪婪的硬币硬币兑换问题得到解决，它应符合以下条件：-
1。按升序对硬币值进行排序时，大于当前元素的所有值都应被当前元素整除。
例如硬币= {1，5，10，20，100}，这将给出正确的答案，因为{5,10，20，100}都可以被1，{10,20，100}都可以除以5，{20,100 }全部可被10整除，{100}全部可被20整除。
希望这给出了一些想法。
996 A-打彩票 https://codeforces.com/blog/entry/60217
答案 4 :(得分：1)
好吧，我们真的需要重新表述这个问题……贪婪算法的本质是尝试使用提供的硬币面额来获得目标值。您对贪婪算法所做的任何更改只会改变达到目标值的方式。 它不考虑使用的最低代币...... 为了更好地解决这个问题，不存在安全的举措。 更高面额的硬币可能会很快产生目标价值，但这不是一个安全的举动。 示例 {50,47,51,2,9} 获得 100 贪婪的选择是拿最高面额的硬币更快地达到 100。 51+47+2 好吧，它达到了，但 50+50 应该可以..
让 {50,47,51,9} 得到 100 如果它贪婪地选择最高的硬币 51 它需要从集合 49。它不知道是否可能。它试图达到 100 但它不能 而改变贪婪的选择只会改变达到100的方式 这些类型的问题产生了一组解决方案和决策树分支的形式。
答案 5 :(得分：0)
如果贪婪算法给出的硬币数量对于所有金额都是最佳的，则硬币系统是规范的。
对于非规范硬币系统，有一个量c，贪婪算法产生次优数量的硬币; c被称为反例。如果最小的反例大于最大的单个硬币，则硬币系统是紧的。
答案 6 :(得分：-3)
一个容易记住的案例是任何一组硬币，如果它们按升序排序并且你有：
coin[0] = 1
coin[i+1] >= 2 * coin[i], for all i = 0 .. N-1 in coin[N]
然后使用这种硬币的贪婪算法将起作用。
根据您查询的范围，可能会有更优化（就所需硬币数量而言）分配。例如，如果您正在考虑范围（6..8）并且您有硬币＆lt; 6,7,8＆gt;而不是＆lt; 1,2,4,8＆gt;。
在N +上完成的最有效的硬币分配与上述规则相同，为您提供硬币1,2,4,8 ......;它只是任何数字的二进制表示。从某种意义上说，基础之间的对话本身就是一种贪婪的算法。
Max Rabkin在本次讨论中提供了关于＆gt; = 2N不等式的证明： http://olympiad.cs.uct.ac.za/old/camp0_2008/day1_camp0_2008_discussions.pdf