Question

我刚刚发现这个算法来计算我的讲义中最大的公约数：

public static int gcd( int a, int b ) {
    while (b != 0) {
        final int r = a % b;
        a = b;
        b = r;
    }
    return a;
}

所以 r 是将 b 分成 a （得到mod）时的余数。然后将 b 分配给 a ，并将余数分配给 b ，并返回 a 。我不能为我的生活看到它是如何运作的！

然后，显然这个算法并不适用于所有情况，然后必须使用这个算法：

public static int gcd( int a, int b ) {
    final int gcd;
    if (b != 0) {
        final int q = a / b;
        final int r = a % b; // a == r + q * b AND r == a - q * b.
        gcd = gcd( b, r );
    } else {
        gcd = a;
    }
    return gcd;
}

我不明白这背后的原因。我通常得到递归并且擅长Java，但这是在逃避我。请帮忙吗？

Answer 1

Wikipedia文章包含一个解释，但要立即找到它并不容易（同时，程序+证明并不总是回答“为什么会这样做”）。

基本上，它归结为这样的事实：对于两个整数a，b（假设a> = b），总是可以写a = bq + r，其中r <1。湾

如果d = gcd（a，b），那么我们可以写a = ds和b = dt。所以我们有ds = qdt + r。由于左侧可被d整除，因此右侧也必须可被d整除。由于qdt可被d整除，因此结论是r也必须能被d整除。

总结：我们有一个= bq + r，其中r < b和a，b和r都可被gcd（a，b）整除。

因为＆gt; = b＆gt; r，我们有两个案例：

如果r = 0则a = bq，因此b除以b和a。因此gcd（a，b）= b。
否则（r> 0），我们可以减少找到gcd（a，b）的问题，找到gcd（b，r）这个数字完全相同的问题（a，b和r都是可以被d）整除。

为什么减少？因为r <湾所以我们正在处理的数字肯定更小。这意味着我们只需要在达到r = 0之前将这种减少应用有限次数。

现在，r = a％b，希望能解释你的代码。

Answer 2

他们是等同的。首先要注意的是，第二个程序中的q根本没有使用。另一个区别是迭代与递归。

至于它的工作原理，上面链接的维基百科页面很好。第一个插图特别有效地直观地传达了“为什么”，然后下面的动画说明了“如何”。

Answer 3

鉴于从未使用'q'，我没有看到你的普通迭代函数和递归迭代函数之间存在差异...两者都

gdc(first number, second number)
  as long as (second number > 0) {
      int remainder = first % second;
      gcd = try(second as first, remainder as second);
  }
}

除非尝试将此应用于非整数，否则此算法会失败？

（有关详细信息，请参阅http://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_algorithm）

Answer 4

这是一篇有趣的博文：Tominology。

在讨论欧几里德算法背后的许多直觉时，它是用JavaScript实现的，但我相信如果想要的话，将代码转换为Java并不困难。

Answer 5

Here是我发现的一个非常有用的解释。

对于那些懒得打开它的人来说，这就是它所说的：

当你必须找到（3084,1424）的GCD时，请考虑这个例子。让我们假设d是GCD。这意味着d | 3084和d | 1424（使用符号＆＃39; |＆＃39;说＆＃39;划分＆＃39;）。

遵循d | （3084 - 1424）。现在我们尝试尽可能地减少这些可被d整除的数字（在这种情况下为3084和1024），以便我们将0作为数字之一。请记住，GCD（a，0）是一个。

自d | （3084 - 1424），它遵循d | （3084 - 2（1424））这意味着d | 236.
提示：（3084 - 2 * 1424 = 236）

现在忘记了初始数字，我们只需要解决d，我们知道d是分为236,1424和3084的最大数字。所以我们使用较小的两个数字来继续，因为它＆＃39; ll将问题收敛于0。

d | 1424和d | 236意味着d | （1424 - 236）。
所以，d | （1424 - 6（236））=＆gt; d | 8.

现在我们知道d是划分8,236,1424和3084的最大数字。再次采用较小的数字，我们有

d | 236和d | 8，暗示d | （236 - 8）。
所以，d | （236 - 29（8））=＆gt; d | 4.

再次，被d整除的数字列表会增加并收敛（数字越来越小，越接近0）。就目前而言，d是划分4,8,236,1424,3084的最大数字。

采取相同步骤，

d | 8和d | 4意味着d | （8-4）。
所以，d | （8 - 2（4））=＆gt; d | 0.

可被d整除的数字列表现在为0,4,8,236,1484,3084。（a，0）的GCD始终是a。所以，一旦你将0作为两个数字中的一个，另一个数字是原始的两个gcd和所有介于两者之间的gcd。

这正是您的代码正在做的事情。您可以将终端条件识别为GCD（a，0）= a。

另一步是找到两个数字的其余部分，然后选择前两个中的较小数字作为新数字。

欧几里德算法如何工作？

5 个答案: