Question

我现在正在使用scipy.integrate.quad成功整合一些真正的整数。现在出现了我需要整合复杂的被积函数的情况。 quad似乎无法做到这一点，因为其他scipy.integrate例程，所以我问：有没有办法使用scipy.integrate集成复杂的被积函数，而不必分离实部和虚部的积分？

Answer 1

将它分成实部和虚部有什么不对？ scipy.integrate.quad需要集成函数返回浮点数（也就是实数）用于它使用的算法。

import scipy
from scipy.integrate import quad

def complex_quadrature(func, a, b, **kwargs):
    def real_func(x):
        return scipy.real(func(x))
    def imag_func(x):
        return scipy.imag(func(x))
    real_integral = quad(real_func, a, b, **kwargs)
    imag_integral = quad(imag_func, a, b, **kwargs)
    return (real_integral[0] + 1j*imag_integral[0], real_integral[1:], imag_integral[1:])

，例如，

>>> complex_quadrature(lambda x: (scipy.exp(1j*x)), 0,scipy.pi/2)
((0.99999999999999989+0.99999999999999989j),
 (1.1102230246251564e-14,),
 (1.1102230246251564e-14,))

这是你期望舍入误差 - exp（ix）从0的积分，pi / 2是（1 / i）（e ^ i pi / 2 - e ^ 0）= - i（i - 1） = 1 + i~（0.99999999999999989 + 0.99999999999999989j）。

并且对于记录，如果不是每个人都100％清楚，积分是线性函数，意味着∫{f（x）+ kg（x）} dx =∫f（x）dx +k∫ g（x）dx（其中k是相对于x的常数）。或者对于我们的具体情况∫z（x）dx =∫Rez（x）dx +i∫Imz（x）dx as z（x）= Re z（x）+ i Im z（x）。

如果您尝试在复平面中的路径（除实轴之外）或复平面中的区域进行积分，则需要更复杂的算法。

注意：Scipy.integrate不会直接处理复杂的集成。为什么？它完成了FORTRAN QUADPACK库中的繁重工作，特别是在qagse.f中，它明确要求函数/变量是真实的，然后再进行“基于21点Gauss-Kronrod积分的全局自适应正交”子区间，由Peter Wynn的epsilon算法加速。“因此，除非您想尝试修改底层FORTRAN以使其处理复杂数字，将其编译为新库，否则您无法使其工作。

如果你真的想在一个集成中使用复数的Gauss-Kronrod方法，请查看wikipedias page并直接实现如下（使用15-pt，7-pt规则）。注意，我memoize'd函数重复对公共变量的公共调用（假设函数调用很慢，就好像函数非常复杂）。也只做了7点和15点的规则，因为我不想自己计算节点/权重，而且那些是在维基百科上列出的那些，但是在测试用例中得到了合理的错误（~1e-14）

import scipy
from scipy import array

def quad_routine(func, a, b, x_list, w_list):
    c_1 = (b-a)/2.0
    c_2 = (b+a)/2.0
    eval_points = map(lambda x: c_1*x+c_2, x_list)
    func_evals = map(func, eval_points)
    return c_1 * sum(array(func_evals) * array(w_list))

def quad_gauss_7(func, a, b):
    x_gauss = [-0.949107912342759, -0.741531185599394, -0.405845151377397, 0, 0.405845151377397, 0.741531185599394, 0.949107912342759]
    w_gauss = array([0.129484966168870, 0.279705391489277, 0.381830050505119, 0.417959183673469, 0.381830050505119, 0.279705391489277,0.129484966168870])
    return quad_routine(func,a,b,x_gauss, w_gauss)

def quad_kronrod_15(func, a, b):
    x_kr = [-0.991455371120813,-0.949107912342759, -0.864864423359769, -0.741531185599394, -0.586087235467691,-0.405845151377397, -0.207784955007898, 0.0, 0.207784955007898,0.405845151377397, 0.586087235467691, 0.741531185599394, 0.864864423359769, 0.949107912342759, 0.991455371120813]
    w_kr = [0.022935322010529, 0.063092092629979, 0.104790010322250, 0.140653259715525, 0.169004726639267, 0.190350578064785, 0.204432940075298, 0.209482141084728, 0.204432940075298, 0.190350578064785, 0.169004726639267, 0.140653259715525,  0.104790010322250, 0.063092092629979, 0.022935322010529]
    return quad_routine(func,a,b,x_kr, w_kr)

class Memoize(object):
    def __init__(self, func):
        self.func = func
        self.eval_points = {}
    def __call__(self, *args):
        if args not in self.eval_points:
            self.eval_points[args] = self.func(*args)
        return self.eval_points[args]

def quad(func,a,b):
    ''' Output is the 15 point estimate; and the estimated error '''
    func = Memoize(func) #  Memoize function to skip repeated function calls.
    g7 = quad_gauss_7(func,a,b)
    k15 = quad_kronrod_15(func,a,b)
    # I don't have much faith in this error estimate taken from wikipedia
    # without incorporating how it should scale with changing limits
    return [k15, (200*scipy.absolute(g7-k15))**1.5]

测试用例：

>>> quad(lambda x: scipy.exp(1j*x), 0,scipy.pi/2.0)
[(0.99999999999999711+0.99999999999999689j), 9.6120083407040365e-19]

我不相信错误估计 - 当从[-1到1]进行积分时，我从维基中获取了建议的误差估计值，这些值对我来说似乎不合理。例如，上述误差与真实相比是~5e-15而不是〜1e-19。我敢肯定，如果有人咨询过num食谱，你可以得到更准确的估计。（可能需要多次(a-b)/2到一些权力或类似的东西）。

回想一下，python版本不如仅仅调用scipy基于QUADPACK的集成两次。（如果需要，你可以改进它。）

Answer 2

我意识到我已经迟到了，但也许quadpy（我的一个项目）可以提供帮助。此

import numpy
import quadpy
import scipy

val = quadpy.line_segment.integrate(
        lambda x: scipy.exp(1j*x),
        [0, 1],
        quadpy.line_segment.GaussKronrod(3)
        )

print(val)

正确给出

(0.841470984808+0.459697694132j)

您可以使用任何其他方案，而不是GaussKronrod(3)。

使用scipy.integrate.quad来集成复数

2 个答案: