Question

我想知道以下定义的程序是否可以返回1：

IEEE754浮点算法
没有溢出（max/x和f*x中都没有）
没有nan或inf（显然）
0
没有不安全的数学优化

int canfail(int n, double x) {
    double max = 1ULL << n; // 2^n
    double f = max / x;
    return f * x > max;
}

我认为它应该有时返回1，因为roundToNearest(max / x)通常可以大于max/x。我可以找到相反情况下的数字f * x < max，但是我没有显示f * x > max的输入示例，也不知道如何找到一个。有人可以帮忙吗？

编辑：我知道x的值是否在10 ^（-6）和10 ^ 6之间（仍然留下很多（太多的双精度值）），但是我知道我不必处理上溢，下溢或子运算-正常数字！另外，我刚刚意识到，由于max是2的幂，并且我们不处理溢出，因此，通过固定max=1 ，解决方案将是相同的完全相同的计算，但发生了变化。

因此，问题对应于找到一个正的，正常的双精度值x，使得`（1 / x）* x> 1.0 !!

我编写了一个小程序来尝试找到解决方案：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
#include <stdint.h>
#include <omp.h>

int main( void ) {
    #pragma omp parallel
    {
        unsigned short int xsubi[3] = {
            omp_get_thread_num(),
            omp_get_thread_num(),
            omp_get_thread_num()
        };

        #pragma omp for
        for(int64_t i=0; i<INT64_MAX; i++) {
            double x = fmod(nrand48(xsubi), 1048576.0);
            if(x<0.000001)
                continue;

            double f = 1.0 / x;
            if(f * x > 1.0) {
                printf("found !!! x=%.30f\n", x);
                fflush(stdout);
            }
        }
    }
    return 1;
}

如果更改比较的符号，您将快速找到一些价值。但是，它似乎可以与f * x > 1.0

永远运行

Answer 1

在没有下溢或上溢的情况下，指数是无关紧要的；如果为M/x*x > M，则(M/p) / (x/q) * (x/q) > (M/p)为两个p和q的任意幂。因此，让我们考虑2 ⁵²≤x <2 ⁵³和M = 2 ¹⁰⁵。我们可以消除x = 2 ⁵²，因为这会产生精确的浮点运算，所以2 ⁵² <x <2 ^{53 < / sup>。}

将2 ¹⁰⁵除以x得到整数商q和整数余数r，其中2 ⁵² {{1 }} <2 ⁵³，0 <{q <r和2 ¹⁰⁵ = x•q + x。

为了使r超过M/x*x，除法和乘法都必须四舍五入。由于该除法是四舍五入的，所以M / 2≤x。

舍入后，将2 ¹⁰⁵的浮点除以r的结果将得出x + 1。然后，精确的（不是四舍五入的）乘法结果（q + 1）•q = x•q + x = x•{ {1}} + q + x-x = r•r + q + x-{{1 }} = 2 ¹⁰⁵ + r-x。由于r / 2 <x，r-x≤r / 2，因此舍入该精确结果会舍入，得出2 ^{105 < / sup>。（由于2 ¹⁰⁵具有低偶数位，因此，“ <”情况总是四舍五入，而“ =”情况则四舍五入。）}

因此，对于两个x的幂和所有在指数范围内的算术运算，r永远不会发生从最近到最近的关系到偶数。

Answer 2

乘以2的幂只是指数的缩放，它不会改变问题：因此，它与找到x使得(1/x) * x > 1一样。

一种解决方案是蛮力搜索。
出于相同的原因，我们可以将搜索x的时间间隔限制为（1.0,2.0（

一种更好的方法是在没有暴力的情况下分析错误范围。

让我们注意ix最接近1/x的浮点。

将x和ix视为精确分数，我们可以写整数除法：1 = ix * x + r其中r是余数
（所有分母均为2的幂的分数，因此我们必须将整个方程乘以2的适当幂才能真正具有整数除法。）
换句话说，ix = 1/x - r/x，其中-r/x是求反的舍入误差。
当我们将逆近似值乘以x时，精确值为ix*x = 1 - r。
我们知道浮点结果将四舍五入到最接近该精确值的浮点数。
因此，假设默认舍入模式为最接近的，偶数为偶的，问的问题是-r是否可以超过0.5 ulp。

简短的回答永远不会！
假设|r| > 0.5 ulp，那么舍入误差-r/x确实超过了精确结果1/x的一半。
这不是一个正确的答案，因为确切的结果不是浮点且没有ulp，但是您会明白...
如果有时间，我可能会带回正确的证明，但我敢打赌，您可能已经发现它已经完成了，也许是这样

编辑为什么找到(1/x) * x < 1？

仅因为1.0处于binade极限，所以低于1，我们必须证明r<0.25 ulp，这是我们不能...

Answer 3

canfail（1，pow（2，1023）*（2-pow（2，-51）））将返回1。

ieee754浮点1 / x * x> 1.0

3 个答案: