使用numpy的svd计算中的奇异值

Question

我有一个问题要关注

A = array([
[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10],
[11,12,13,14,15,16,17,18,19,20],
[21,22,23,24,25,26,27,28,29,30]])
print(A)
# Singular-value decomposition
U, s, VT = svd(A)

对于上述“ s”，其形状应为（10，），因为我们有10个特征，但显示的不是（3，）。示例输出如下所示，我很困惑。请解释为什么我们要去（3，）

(3, 10)
U shape (3, 3)
s shape (3,)
VT shape (10, 10)

让我们考虑另一个例子

A = array([[1, 2], [3, 4], [5, 6]])
print(A.shape)
# Singular-value decomposition
U, s, VT = svd(A)
Here “s” shape is shown as (2,)

这里的输出如下所示

(3, 2)
U shape  (3, 3)
s shape (2,)
VT shape  (2, 2)

我不明白为什么形状会有所不同。请解释一下

Answer 1

使用SVD，将形状为（m x n）的矩阵 A 分解为

• 形状为（m x m）
的unit矩阵 U
• 形状为（m x n）
的矩形对角矩阵 Sigma
• 形状为（n x n）
的unit矩阵 V

Sigma 在其主对角线上包含所有奇异值。由于形状为（mxn）的矩阵在其主对角线上仅包含 min（m，n）个元素，因此只有 min（m，n）奇异值。