Question

我想将两个具有不同小数长度的定点数相乘。定点部分和小数部分分别存储：

123    . 4
fix    . frac
sint32 . sint32

我使用两个变量，一个用于固定部分，一个用于小数部分。

我尝试使用Karatsuba算法。但这仅适用于固定长度的小数。这两个数字的分数部分是变化的。它们可能是相同的，但是对此没有任何保证。当然，最大可能值为（2 ^ 32）-1。

将123.4与56.789相乘的最佳方法是什么？

// a = 123.4
signed int a_fxd = 123;
signed int a_frx = 4;
// b = 56.789
signed int b_fxd = 56
signed int b_frc = 789;

Answer 1

您需要确定小数部分的实际比例因子是多少。对于您的特定示例，看起来合适的因子可能是1/1000或0.001。这意味着56.789表示为56 + 789×0.001。但这意味着123.4将表示为12 + 400×0.001。也就是说，您输入的问题有误：a_frx为400，而不是4。

我不知道Karatsuba's algorithm，而且我怀疑它真的不适用于此问题。我只知道我在小学赚的钱。

让我们用sc表示比例因子。所以我们的乘法实际上是

( a_fxd + a_frx * sc ) * ( b_fxd + b_frx * sc )

乘以这个，我们得到

a_fxd * b_fxd + a_fxd * b_frx * sc + a_frx * b_fxd * sc + a_frx * b_frx * sc * sc

收集术语，我们有

a_fxd * b_fxd + (a_fxd * b_frx + a_frx * b_fxd + a_frx * b_frx * sc) * sc

因此，如果我们将产品表示为p_fxd和p_frx，看起来我们将拥有

p_fxd = a_fxd * b_fxd
p_frx = a_fxd * b_frx + a_frx * b_fxd + a_frx * b_frx * sc

让我们插入实际值：

p_fxd = 123 * 56 = 6888
p_frx = 123 * 789 + 400 * 56 + 400 * 789 * 0.001 = 119762.600

但是还有一个额外的问题，因为实际上p_frx应该是0..999范围内的整数。因此，我们需要丢弃.600并携带119。所以最终结果是

p_fxd = 6888 + 119 = 7007
p_frx = 762

这对应正确的结果123.4×56.789 = 7007.762。

...实际上，正确正确结果为7007.7626，或四舍五入为三位数7007.763。因此严格来说，我们不应该舍弃在p_frx中结束的.600，我们应该四舍五入。

当我们考虑负数的可能性时，可能还会有一些额外的皱纹需要照顾。

最后，可以选择比例因子。实际上，我在这里使用的0.001并不是一个现实的值。对于通用算法，您可能会使用诸如1/10000或1/1000000000或1/32768或1/65536之类的东西。（使用2的幂表示较大的范围，并且通常可以提高计算效率，但分数部分不那么明显，而十进制表示形式的转换效率较低。例如，如果使用的比例因子为1/32768，{{1} }为13107，而a_frx为25853或25854。）

如果定数和小数部分分别存储，如何乘以定点数？

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