重尾分布 - 威布尔

Question

我知道当形状参数<1时，威布尔分布表现出亚指数重尾行为。 1.我需要使用重尾分布的限制定义来证明这一点：

适用于所有

如何合并累积分布函数（CDF）或Weibull分布的任何其他方程特征来证明此限制成立？

Answer 1

CDF of the Weibull distribution为1 - exp(-(x/lambda)^k) = P(X <= x)。

所以

P(X > x) = 1 - CDF = exp(-(x/lambda)^k),

和

lim exp(lambda * x) * P(X > x) = lim exp(lambda x) * exp( - (x/lambda)^k)
                               = lim exp(lambda x - x^k/lambda^k)

由于k<1和x很大，而lambda>0，lambda x的增长速度大于x^k/lambda^k（具有较大指数的单项式获胜）。换句话说，lambda x术语支配x^k/lambda^k术语。所以lambda x - x^k/lambda^k很大而且很积极。

因此，限制变为无限。