排列中的升序子序列

Question

给定置换1 ... n例如5 3 4 1 2 如何在线性时间内找到长度为3的所有上升子序列？

是否有可能找到长度为X的其他升序子序列？ X

我不知道如何在线性时间内解决它。

Answer 1

你需要实际的提升序列吗？或者只是升序子序列的数量？

无法在少于列出它们所需的时间内生成它们。正如已经指出的那样，O(NX / (X-1)!)。 （X可能存在意外因素，因为列出大小为O(X)的数据结构需要时间X。）对它们进行明显的递归搜索并不远。

如果使用动态编程，可以及时计算它们O(X * N2)。这是Python的。

counts = []
answer = 0
for i in range(len(perm)):
    inner_counts = [0 for k in range(X)]
    inner_counts[0] = 1
    for j in range(i):
        if perm[j] < perm[i]:
            for k in range(1, X):
                inner_counts[k] += counts[j][k-1]
    counts.add(inner_counts)
    answer += inner_counts[-1]

对于您的示例3 5 1 2 4 6和X = 3，您将结束：

counts = [
    [1, 0, 0],
    [1, 1, 0],
    [1, 0, 0],
    [1, 1, 0],
    [1, 3, 1],
    [1, 5, 5]
]
answer = 6

（上面只找到5个，缺少的是2 4 6。）

扩展这个答案并不难创建一个数据结构，可以很容易地直接列出它们，找到一个随机数据等。

Answer 2

您无法在线性时间内找到所有升序子序列，因为可能会有更多的后续序列。

例如，在排序的原始序列中，所有子集都在增加子序列，因此长度为N（1,2，...，N）的排序序列具有N选择k = n!/(n-k)!k!增加长度为k的子序列