2 ^ O（log log n）= O（log n）吗？

Question

2 ^ O(log log n) = O(log n)是吗？您能解释一下如何测试这种关系吗？

我尝试用C1 log(log n)替换O（log（log n）），并用log n替换C2 log n，以查找它们之间的关系。当我绘制函数图形时，似乎该语句是正确的，但是我一度陷入了数学证明中，并且不确定如何进行。

Answer 1

您正在寻找方向。您可以将O(log(log n))替换为c log(log n)，并确保存在一个c的常量2 ^ O(log(log n)) < 2 ^ (c log(log n))。因此，我们将拥有S = 2^ (c log(log n)) = (2^(log(log n)))^c = log(n)^c。但是，您不能说S = O(log n)。由于c可以是任何常数，因此可以说S = O(n^epsilon) epsilon可以是一个接近零的小常数。

Answer 2

不。假设以2为底的日志，那么

2 ^{log log N} = log N，

但是2 ^{O（log log N）}中还有2 ^{10个日志log N} ，并且

2 ^{10 log log N} =（2 ^{log log N} ） ¹⁰ =（log N） ¹⁰

...而且显然不在O（log N）