Question

我有这个递归函数：

f(n) = 2 * f(n-1) + 3 * f(n-2) + 4
f(1) = 2
f(2) = 8

我从经验中知道它的明确形式是：

f(n) = 3 ^ n - 1  // pow(3, n) - 1

我想知道是否有办法证明这一点。我google了一下，但没有找到任何简单的理解。我已经知道生成函数可能解决了它，它们太复杂了，我宁愿不进入它们。我正在寻找一种更简单的方法。

P.S。如果它有帮助我记得这样的东西解决了它：

f(n) = 2 * f(n-1) + 3 * f(n-2) + 4
// consider f(n) = x ^ n
x ^ n = 2 * x ^ (n-1) + 3 * x ^ (n-2) + 4

然后你以某种方式计算x导致显式形式的递归公式，但我不记得了

Answer 1

f(n) = 2 * f(n-1) + 3 * f(n-2) + 4
f(n+1) = 2 * f(n) + 3 * f(n-1) + 4

f(n+1)-f(n) = 2 * f(n) - 2 * f(n-1) + 3 * f(n-1) - 3 * f(n-2)
f(n+1) = 3 * f(n) + f(n-1) - 3 * f(n-2)

现在4号消失了。如你所说，下一步是让f（n）= x ^ n

x^(n+1) = 3 * x^n + x^(n-1) - 3 * x^(n-2)

除以x ^（n-2）

x^3 = 3 * x^2 + x - 3
x^3 - 3 * x^2 - x + 3 = 0

找到x

的因素

(x-3)(x-1)(x+1) = 0
x = -1 or 1 or 3

f(n) = A * (-1)^n + B * 1^n + C * 3^n
f(n) = A * (-1)^n + B + C * 3^n

现在使用您拥有的值找到A，B和C

f(1) = 2; f(2) = 8; f(3) = 26

f(1) = 2 = -A + B + 3C
f(2) = 8 = A + B + 9C
f(3) = 26 = -A + B + 27C

解决A，B和C：

f(3)-f(1) = 24 = 24C      => C = 1
f(2)-f(1) = 6 = 2A + 6    => A = 0
2 = B + 3                 => B = -1

最后

f(n) = 3^n - 1

Answer 2

好的，我知道你不想生成函数（GF从现在开始）和所有复杂的东西，但我的问题结果是非线性的，简单的线性方法似乎不起作用。经过一整天的搜索，我找到了答案，希望这些发现对其他人有所帮助。

我的问题：a [n + 1] = a [n] /（1 + a [n]）（即非线性（也不是多项式），但也不是完全非线性 - 它是一个有理差分方程）

如果您的重复是线性的（或多项式），wikihow有逐步说明（有和没有GF）
如果你想阅读有关GF的内容，请转到this wiki，但在我开始做示例之前我没有得到它（见下文）
GF usage example
如果上一个例子没有意义，请下载GF book并阅读最简单的GF示例（第1.1节，即a [n + 1] = 2 a [n] +1，然后是1.2，a [ n + 1] = 2 a [n] +1，然后1.3 - Fibonacci）
（虽然我在书的主题上）templatetypedef提到具体数学，下载here，但我不太了解它，除了它有一个重复，总和和GF章节（以及其他）和第335页的简单GF表格
当我深入研究非线性的东西时，我看到了this page，使用了我在z变换方法中失败并且没有尝试线性代数，但是理性差异eqn的链接是最好的（见下一步））
所以按照this page，有理函数是很好的，因为你可以将它们转换为多项式并使用上面步骤1的线性方法.3。和4.我手工写出并可能犯了一些错误，因为（见8）
Mathematica（甚至免费的WolframAlpha）都有一个递归求解器，RSolve[{a[n + 1] == a[n]/(1 + a[n]), a[1] == A}, a[n], n]让我得到一个简单的{{a[n] -> A/(1 - A + A n)}}。所以我想我会回去查找手工计算中的错误（它们有助于理解整个转换过程的工作原理）。

无论如何，希望这有帮助。

Answer 3

通常，没有用于将递归形式转换为迭代形式的算法。这个问题是不可判定的。例如，考虑这个递归函数定义，它定义了Collatz序列：

f(1) = 0
f(2n) = 1 + f(n)
f(2n + 1) = 1 + f(6n + 4)

目前尚不清楚这是否是一个定义明确的功能。如果存在可以将其转换为封闭形式的算法，我们可以决定它是否定义明确。

但是，对于许多常见情况，可以将递归定义转换为迭代定义。优秀的教科书“混凝土数学”的大部分内容都展示了如何做到这一点。当您猜测答案是什么时，一种常用的技术是使用归纳法。作为你的情况的一个例子，假设你相信你的递归定义确实给出了3 ^ n - 1.为了证明这一点，试着证明它对于基本情况是正确的，然后证明这个知识可以让你向上推广解决方案。您没有在帖子中添加基础案例，但我假设

f(0) = 0
f(1) = 2

鉴于此，让我们看看你的预感是否正确。对于0和1的特定输入，您可以通过检查验证该函数是否计算3 ^ n - 1.对于归纳步骤，让我们假设对于所有n'＆lt; n f（n）= 3 ^ n - 1.然后我们有

f(n) = 2f(n - 1) + 3f(n - 2) + 4
     = 2 * (3^{n-1} - 1) + 3 * (3^{n-2} - 1) + 4
     = 2 * 3^{n-1} - 2 + 3^{n-1} - 3 + 4
     = 3 * 3^{n-1} - 5 + 4
     = 3^n - 1

所以我们刚刚证明了这个递归函数确实产生了3 ^ n - 1。

如何计算递归函数的显式形式？

3 个答案: