Question

我试图证明给定的一种关系： eqX 和Hypo：当量eqX ， eqX ab-> eqX（proj1_sig fa）（proj1_sig fb）。（其中 f 类型为 {x：A | P x} ）我想问：

我可以根据库Coq.Init.Specif中sig的定义来证明这个断言吗？我已经看到了一个类似的定理尊重peing_equiv，但这没有帮助。
Dose Coq提供了可以证明其断言的现有功能吗？

我尝试阅读 Coq.Init.Specif 并进行操作（搜索proj1_sig等效项。）。但是我找不到解决我的问题的定理。

respecting_equiv:
  forall (A : Type) (R : relation A)
    (eqa : Equivalence R) 
    (B : Type) (R' : relation B)
    (eqb : Equivalence R'),
  Equivalence
    (fun f g : respecting eqa eqb =>
     forall x y : A,
     R x y ->
     R' (proj1_sig f x)
       (proj1_sig g y))

Answer 1

这是您要显示的内容吗？

Require Import Coq.Relations.Relation_Definitions.
Require Import Coq.Classes.Equivalence.
Require Import Setoid.
Generalizable All Variables.

Lemma foo `{!@Equivalence A RA, @Equivalence B RB, f : @respecting A _ _ B _ _ , @equiv A _ _ a b} :
  equiv (proj1_sig f a) (proj1_sig f b).
Proof.
now apply respecting_equiv.
Qed.

Answer 2

您的索赔不可直接证明；考虑

X := nat
eqX a b := (a mod 2) = (b mod 2)
P a := True
f x := exist P (x / 2) I

然后我们有eqX 2 4，但我们没有eqX (proj1_sig (f 2)) (proj1_sig (f 4))，因为我们没有eqX 1 2。

您可以接受要证明为假设的定理，也可以接受类型为forall a, proj1_sig (f a) = a的假设，也可以接受类型为forall a, eqX (proj1_sig (f a)) a的假设。请注意，如果您对某个功能reflexivity有intros; assumption，则所有这些都是可以证明的（通过f a := exist P a (g a)或g。

如何证明（proj1_sig f a）和（proj1_sig f b）两个对象的等价性，其中a和b是等价的

2 个答案: