给定n个矩形坐标，找到k个矩形相交的区域的面积？

Question

给出一个列表矩形[R1，R2，R3]，它们由其左下角和右上角[(x1, y1), (x2, y2)]坐标定义，并且值为k。

有没有找到k个矩形重叠的区域的最佳方法？

例如：

R1: [(1, 1), (5, 5)]
R2: [(4, 4), (7, 6)]
R3: [(3, 3), (8, 7)]

rectangles = [R1, R2, R3]
k = 2

被两个矩形重叠的区域是8。

解决该问题的蛮力方法是计算x轴和y轴坐标的最小值和最大值，然后使用它创建一个网格并为矩形内的每个单元格增加一个。最后，在网格上迭代以计算值为k的像元数量以找到解。

该方法的复杂度为O(n^3)，假设每个矩形的大小为n x n，并且有n个矩形。

是否有运行时最佳方法来解决此问题？

Answer 1

将矩形插入数据结构，在其中按其底部坐标x1对其进行排序。使用例如一个自平衡的二叉搜索树，其复杂度为O（N.LogN），并允许以O（N）的顺序遍历该树，其中N为矩形的数目。在示例中，将是：

[R1, R3, R2]

在将矩形插入树中时，还保留所有唯一的上下坐标y1和y2的排序列表。在示例中，将是：

[1, 3, 4, 5, 6, 7]  

现在，我们将两个连续的y坐标之间的每个水平切片视为一维问题（类似于this answer中的第一种方法）。

从矩形树的开始遍历此切片中的所有矩形（请记住，矩形按y1排序，因此它们在开始时被分组在一起），并为其唯一的x坐标创建了排序列表，并为每个值加上一个值（如果是左坐标，则加1），如果是右坐标，则减1。如果遇到矩形的顶部坐标等于切片的顶部坐标的矩形，请将其从矩形树中删除，这可以在O（1）中完成。对于示例中的第一个切片，y = 1〜3，高度为2，应为：

[1: +1, 5: -1]  

如果我们对其进行迭代，则会发现一个宽度为4（因此为面积8）的区域，该区域是1个矩形的一部分。

对于示例中的第二个切片，y = 3〜4，高度为1，将为：

[1: +1, 3: +1, 5: -1, 8, -1]  

如果我们对其进行迭代，我们将找到宽度2的区域（因此是区域2），它是1个矩形的一部分；宽度2的区域（因此是区域2），它是2个矩形的一部分，以及一个区域宽度3（因此是区域3）的宽度（1个矩形的一部分）。因此，属于k个矩形的任何区域都将添加到总计中。等等。

创建矩形树是O（N.LogN），创建切片列表是O（N.LogN），在切片上进行迭代是O（N），并且在每个切片内创建排序的x坐标列表是O（ N.LogN），总共为O（N ² .LogN），与矩形的大小，总面积的大小以及矩形的矩形或簇之间的重叠程度无关矩形。

Answer 2

分析矩形集合的常用方法是使用扫掠线算法。想象一条垂直线从集合的左侧开始，然后向右扫描。存储当前与线相交的一组矩形，该矩形最初为空。当线通过任何矩形的垂直边时，需要更新此集合：在每种情况下添加或删除矩形。为了提高扫描效率，请使用垂直的x坐标的排序列表。

在这种情况下，您还需要一种方法来有效确定被k个或更多矩形覆盖的扫描线的间隔。这可以通过维护间隔树来有效地完成。

根据细节，对于n个矩形，效率应该大约为O（n log n），其中最大重叠深度可能需要附加术语。我会让你弄清楚细节。