我的加泰罗尼亚数字逻辑出了什么问题？

Question

我想为加泰罗尼亚数字编写代码.Catalan数字定义如下：

C(n) = 2n C n/(n+1)。但是我没有计算(2n C n)，而是想利用以下事实自下而上计算加泰罗尼亚数字：

Catalan(n) =    
2n! /n! * n! * (n+1)  

Catalan(n+1) =  
2*(n+1)  
--------------------------- =    
(n+1)! * (n+1)! * ((n+1)+1)  

(2n+2) * (2n+1) * 2n!    
------------------------------- =  
(n+1) * n! * (n+1) * n! * (n+2)    

(2n+2) * (2n+1) * 2n!    
----------------------------------- =    
(n+1) * (n+2) * n! * n! * (n+1)    

(2n+2) * (2n+1)    
--------------- * Catalan(n)      
(n+1) * (n+2)

现在利用上述事实，这是我的以下代码：

int catalan(int n)
{
    if (n == 1)
       return 1 //since c(1)=1 is my base case
    else
       return (((2*n+2) * (2*n+1))/((n+1)*(n+2))) * catalan(n-1)
}

现在，我的问题是为什么当我的输入为4时，上面的函数返回12。它应该返回14，因为c（4）= 14。

有人可以帮助我吗？

Answer 1

即使C(n)的原始表达式可能错误，实际的重复发生

正确。

您可以进一步将其简化为

但就C(n+1)而言，这为您提供了C(n)。根据{{​​1}}，您想要的是C(n)。插入C(n-1)以获取

另请注意，为了防止整数除法截断结果，您需要先乘以然后除以。

n-1

编辑：如果的值需要经常使用而不只是计算一次，那么使用memoization可能是个好主意，以避免计算它们不止一次。

此外，请注意，由于增长率很高，加泰罗尼亚语数字会快速溢出任何预定义的int catalan(int n) { if (n == 1) return 1; else return 2 * (2*n - 1) * catalan(n-1) / (n+1); } 整数数据类型。

Answer 2

根据http://en.wikipedia.org/wiki/Catalan_number，递推公式为：

C(n+1)=2(2n+1)/(n+1) * C(n)或C(n)=2(2(n-1)+1)/n * C(n-1)

我想你已经忘记了从C(n+1)到C(n)的转变。

Answer 3

当你从数学表达式转到代码时，你隐含地在加泰罗尼亚语（）部分中用n-1替换n，而不是在表达式本身中。因此，您计算值N的乘数并将其乘以C（N-1）。尝试在你的等式中用N-1代替N，这导致：

int catalan(int n)
{
    if (n == 1)
       return 1 //since c(1)=1 is my base case
    else
       return (((2*n) * (2*n-1))/((n)*(n+1))) * catalan(n-1)
}

Answer 4

您的公式中存在错误。你的公式用于计算c（n + 1），但你的输入是n。这可以通过在计算中使用它之前将n的值减1来解决：

int catalan(int n)
{
    if (n == 1)
       return 1 //since c(1)=1 is my base case
    else
       n=n-1
       return (((2*n+2) * (2*n+1))/((n+1)*(n+2))) * catalan(n)
}

编辑：正如abeln所指出的，上面的代码会因整数除法而丢失余数而失败。请改用以下代码：

int catalan(int n)
{
    if (n == 1)
       return 1 //since c(1)=1 is my base case
    else
       n=n-1
       return ((catalan(n) * (2*n+2) * (2*n+1))/((n+1)*(n+2)))
}

Answer 5

在你的公式中，你有

         (2n)!
C(n) = ----------------
        (n+1)! * n! * n!

实际上加泰罗尼亚数字被定义为

         (2n)!
C(n) = ----------------
        (n+1)! * n!

即。你在分母上有一个因子太多了