Question

我是Haskell的初学者，我想创建一个函数来确定两个列表之间是否存在同构。我认为如果长度相同> 0，答案是肯定的。

但是空集呢？空集之间可以有同构吗？

谢谢。

Answer 1

这当然取决于类别！

在标准类别SET中，其中的对象是集合，箭头A-> B是将B的元素与A的每个元素相关联的函数，表示空集合的任何两个对象之间肯定存在同构关系-实际上，他们是同一个对象！

还可以想象一个类别，其中集合被附加的代数结构所充实（这样，从该类别到SET都有一个明智的健忘函子），尽管健忘函子映射，附加的代数结构仍可以区分两个对象它们都为空集，在这种情况下，它们之间可能没有同构。

Answer 2

在Haskell中，我们通常将类型视为类别中的对象，而不是单个值。除非我们定义列表是对象的“自定义”类别，否则询问一个列表（一个值）是否与其他列表同构是没有意义的。对于后一种情况，答案取决于我们如何定义类别。

无论如何，在集合的类别中，给定任何集合A，从空集合f : {} -> A到{}仅有一个功能（态射）A。这是具有空域的唯一功能，恰好与空集重合。为了帮助理解这一点，请记住函数f : X -> Y是一对对

f = {(x0,y0),(x1,y1),....}
  with x0,x1,... in X, and y0,y1,... in Y

这样

for any x in X there is a unique y in Y satisfying (x,y) in f

当X = {}时，我们不能选择x0,x1,... in X，因此唯一的选择是拥有f = {}，即“空对”。 f是一个函数，因为条件降低为

for any x in {} .......

这是虚无的事实，因为对空集的通用量化始终是正确的。

因此，对于任何f : {} -> A，都只有一个函数A。即使A = {}也是如此，在这种情况下，f : {} -> {}也是同构。确实，我们有f = id（因为没有其他函数！）和f . f = f = id（因为没有其他函数！），所以f是它自己的逆。