快速选择时间复杂度说明

Question

在https://en.wikipedia.org/wiki/Quickselect中说

“但是，快速选择仅递归到一侧（包含要搜索的元素的一侧），而不是像快速排序那样递归到两侧，这将平均复杂度从O（n log n）降低到O（n ），最坏的情况是O（n ^ 2）。“

我不明白如何减少到只看一侧就能将平均复杂度降低到O（n）？是不是更多的O（N / 2 log N）仍然是O（N log N）。以及最坏的情况O（n ^ 2）

Answer 1

n log(n)表示该算法查看所有N个项目log（n）次。但这不是Quickselect发生的事情。

假设您正在使用Quickselect来选择128个列表中的前8个项目。通过一些随机选择的奇迹，您选择的枢轴始终位于中间点。

在第一次迭代中，该算法查看所有128个项目，并将其分为两组，每组64个项目。下一次迭代分为两组，每组32个项目。然后是16，然后是8。检查的项目数是：

N + N/2 + N/4 + N/8 + N/16

该系列的总和永远不会达到2 * N。

最糟糕的情况是，分区总是导致分区大小非常不对称。考虑如果第一个分区仅删除一个项目会发生什么情况。第二个只删除了一个，依此类推。结果将是：

N +（N-1）+（N-2）...

哪个是(n^2 + n)/2)或O（n ^ 2）。

Answer 2

一张价值一百行的图片：

这种序列的总和将无限接近于1但不等于1。

Answer 3

当我读到平均时间复杂度为 O(n) 而我们每次将列表分成两半（如二分搜索或快速排序）时，我也感到非常矛盾。为了证明只看一侧将平均运行时复杂度从 O(n log n) 降低到 O(n)，让我们比较快速排序（2 侧）和快速选择（1 侧）的时间复杂度递推关系。

快速排序：

T(n) = n + 2T(n/2)
     = n + 2(n/2 + 2T(n/4))
     = n + 2(n/2) + 4T(n/4)
     = n + 2(n/2) + 4(n/4) + ... + n(n/n)
     = 2^0(n/2^0) + 2^1(n/2^1) + ... + 2^log2(n)(n/2^log2(n))
     = n (log2(n) + 1)      (since we are adding n to itself log2 + 1 times)
 

快速选择：

 T(n) = n + T(n/2)
      = n + n/2 + T(n/4)
      = n + n/2 + n/4 + ... n/n
      = n(1 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/2^log2(n))
      = n (1/(1-(1/2))) = 2n                           (by geometric series)

我希望这能让您相信为什么从一侧看会有所不同！