如何在快速傅立叶变换中正确缩放频率轴？

Question

我正在尝试使用简单正弦函数FFT的一些示例代码。下面是代码

import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt

N = 1024
limit = 10
x = np.linspace(-limit, limit, N)
dx = x[1] - x[0]
y = np.sin(2 * np.pi * 5 * x) + np.sin(2 * np.pi * x)
Y = np.abs(np.fft.fft(y) ** 2)
z = fft.fftshift(np.fft.fftfreq(N, dx))
plt.plot(z[int(N/2):], Y[int(N/2):])
plt.show()

从给定的函数中可以看出，在频率1和5处应该有两个尖峰。但是，当我运行这段代码时，得到以下图。

显然，峰值不在应有的位置。另外，我注意到频率缩放对点N的数量以及我设定的limit的间隔限制很敏感。例如，设置N = 2048可以得到以下图表。

如您所见，尖峰的位置已更改。现在保持N = 1024并设置limit = 100也会改变结果。

如何做到这一点，以便可以始终正确缩放频率轴？

Answer 1

fftfreq按以下顺序返回频率范围：从最低到最高的正频率，然后以绝对值的相反顺序返回负频率。 （您通常只想绘制一半，就像在代码中一样。）请注意，该函数实际上实际上需要很少了解数据：只需知道采样数及其在时域中的间距即可。

fft执行实际的（快速）傅立叶变换。它对输入采样进行相同的假设，即等距，并以与fftfreq相同的顺序输出傅立叶分量。它不在乎实际的频率值：采样间隔不会作为参数传递。

但是它确实接受复数作为输入。实际上，这种情况很少见。输入通常是实数样本，如上例所示。在那种情况下，傅立叶变换具有特殊的性质：它在频域中是对称的，即f和−f的值相同。因此，绘制频谱的两个半部通常是没有意义的，因为它们包含相同的信息。

有一种突出的频率：f = 0。它是信号平均值（从零开始的偏移量）的度量。在fft返回的频谱和fftfreq的频率范围中，它位于第一个数组索引处。 如果同时绘制两个半部，则可能需要左右移动频谱，以使负半部位于零分量的左侧，正半部位于零分量的右侧，这意味着所有值都在升序并准备绘制。

fftshift正是这样做的。但是，如果您只绘制了频谱的一半，那么您也可以完全不用这样做。尽管您执行了 if ，但是您必须同时移动两个数组：频率和傅立叶分量。在您的代码中，您仅移动了频率。这就是峰值最终出现在频谱的错误一侧的原因：您绘制的傅立叶分量是指频率的正半部分相对于负半部分，因此，右侧的峰实际上意味着接近零，而不是在远端。

您实际上并不需要依赖那些在频率上运行的功能。仅根据fftfreq的文档即可生成范围：

from numpy.fft import fft
from numpy import arange, linspace, sin, pi as π
from matplotlib import pyplot

t = linspace(-10, +10, num=1024)
y = sin(2*π * 5*t) + sin(2*π * t)

def FFT(t, y):
    n = len(t)
    Δ = (max(t) - min(t)) / (n-1)
    f = arange(int(n/2)) / (n*Δ)
    Y = 2/n * abs(fft(y))[:int(n/2)]
    return (f, Y)

(f, Y) = FFT(t, y)
pyplot.plot(f, Y)
pyplot.show()

Answer 2

import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt

N = 1024
limit = 10

x = np.linspace(-limit, limit, N)
dx = x[1] - x[0]

y = np.sin(2 * np.pi * 5 * x) + np.sin(2 * np.pi * x)
yhat = np.fft.fft(y)

Y = np.abs(yhat)
freq = np.linspace(0.0, 1.0/(2*dx), N//2)

plt.plot(freq, Y[0:N//2]*(2/N))
plt.show()