解决质量，弹簧，阻尼器和库仑摩擦力的系统

Question

考虑以下系统：

            
        Fig.1 - Mass, spring, damper and Coulomb frction (image courtesy of Wikimedia).

具有的动态方程：

其中Ff是Amontons-Columb摩擦定义为：

，因此no-slip条件定义为

在this example之后，我有一个模糊的代码，我不知道该如何完成：

from scipy.integrate import odeint
import numpy as np

m = 1.0
k = 2.0
c = 0.1
mus = 0.3
muk = 0.2
g = 9.8
vf = 0.01

def eq(X, t, Xi):
  Ff = k * (Xi[0] - X[0]) + c * (Xi[1] - X[1]) # - m * dydt

  if np.abs(X[1]) < vf and np.abs(Ff) < mus * m * g :
    Ff = k * (Xi[0] - X[0]) + c * (Xi[1] - X[1]) # - m * dydt
  else:
    Ff = -np.sign(X[1]) * muk * m * g
    pass

  dxdt = X[1]
  dydt = (k * (Xi[0] - X[0]) + c * (Xi[1] - X[1]) - Ff) / m
  return [dxdt, dydt]

t = np.linspace(0, 10, 1000)
Xi0 = np.piecewise(t, [t < 1, t >= 1], [0, 1])
X0 = [0, 0]
sol = odeint(eq, X0, t)

其中Xi0是一个步进函数。我的主要问题是，当我想定义Ff时，它取决于dydt，后者将在该范围的后面定义！

如果您能帮助我知道用数字方法求解此系统的最典型方法，我将不胜感激。预先感谢。

Answer 1

我要在这里提出一个简化/临时的解决方案，直到有人提出更好的解决方案为止：

from scipy.integrate import odeint
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

m = 0.2
k = 2.0
c = 0.1
mus = 0.3
muk = 0.2
g = 9.8
vf = 0.01
v0 = 0.0
t1 = 10
sign = lambda x: np.tanh(100*x)

def Xi(t):
  if t < 1 :
    return 0
  else:
    return 1

vXi = np.vectorize(Xi)

def eq(X, t, Xi):
  Ff = k * (Xi(t) - X[0])

  if np.abs(X[1]) < vf and np.abs(Ff) < mus * m * g :
    Ff = k * (Xi(t) - X[0])
  else:
    Ff = sign(X[1]) * muk * m * g

  d2x = (k * (Xi(t) - X[0]) - Ff) / m
  return [X[1], d2x]

t = np.linspace(0, t1, 1000)
X0 = [v0, 0]
sol = odeint(func = eq, y0 = X0, t = t, args = (Xi, ), mxstep = 50000, atol = 1e-5)

plt.plot(t, sol[:, 0], 'r-', label = 'Output (x(t))')
plt.plot(t, vXi(t), 'b-', label = 'Input (xi(t))')
plt.ylabel('values')
plt.xlabel('time')
plt.legend(loc='best')
plt.show()

结果是：

我使用this，this和this帖子来编写代码。我忽略了阻尼和惯性来简化问题。

Answer 2

另一种方法是使用for循环并按顺序计算步骤：

Y = np.piecewise(t, [t < t2, t >= t2], [0, 1])
dY = np.insert(np.diff(Y) / np.diff(t), 0 , v0, axis = 0)
X = np.zeros((steps,))
dX = np.zeros((steps,))
dX[0] = v0
ddX = np.zeros((steps,))
Ff = np.zeros((steps,))
# FS = np.zeros((steps,))
dt = t1 / (steps - 1)

for ii in range(1, steps):
  X[ii] = X[ii - 1] + dt * dX[ii - 1]
  dX[ii] = dX[ii - 1] + dt * ddX[ii - 1]
  Ff[ii] = k * (Y[ii] - X[ii]) #+ c * (dY[ii] - dX[ii])
  if not (np.abs(dX[ii]) < vf and np.abs(Ff[ii]) < mus * m * g) :
    Ff[ii] = np.sign(dX[ii]) * muk * m * g
  ddX[ii] = (k * (Y[ii] - X[ii]) - Ff[ii]) / m 

结果在下图中显示为绿色：

我也将vf更改为0.001。由于某些原因，结果与odeint不同！

Answer 3

写出这样一个系统的方程并不明显。而且解决起来也不容易。

如果可以解除Python约束，我建议使用OpenModelica来解决这个问题。在modelica 组件库中，您有元素

.Modelica.Mechanics.Translational.Components.MassWithStopAndFriction

可用于模拟干摩擦。