您可以先创建并填充一个二维数组，以记录有效尾部的数量，该数组称为“有效尾数”，将其称为 NVT 。具有给定值的特定位置。例如， NVT [4] [6] = 3，因为在＃4位置具有6的组合可以以3种不同的方式结束：（…，6、7），（…，6， 8）和（…，6，9）。
- 要填充 NVT ，请从 NVT [ n ] […]开始，该行全为1。然后回到原来的位置；例如， NVT [2] [5] == NVT [3] [6] + NVT [3] [7] + NVT [3] [8]，因为在位置＃3处开始的值为5的“尾巴”将由5加上在位置＃4处开始的值为6、7或8的“尾巴”组成。
- 请注意，我们不在乎是否有有效的方法到达给定的尾巴。例如， NVT [4] [1] = 3是因为有效的尾数（1、2，（1、3、3）和（1、4），即使没有完整的（em）组合形式（...，1 、、 _）。
完成此操作后，就可以计算组合 C 的等级，如下所示：
- 对于位置1，从位置1开始计数所有有效尾部，且其值小于 C [1]。例如，如果 C 以3开头，则为 NVT [1] [1] + NVT [1] [2]，代表以1或2开头的所有组合。
- 然后对所有后续职位执行相同的操作。这些表示的组合将以与 C 相同的方式开始直到指定位置，但在该位置具有较小的值。
- 例如，如果 C 为（1、3、5、8、9），则会显示为
0 +
（ NVT [2] [1] + NVT [2] [2]）+
（ NVT [3] [1] + NVT [3] [2] + NVT [3] [3] + NVT [3] [4]）
（ NVT [4] [1] + NVT [4] [2] + NVT [4] [3] + NVT [4] [4] + NVT [4] [5] + NVT [4] [6] + NVT [ 4] [7]）+
（ NVT [5] [1] + NVT [5] [2] + NVT [5] [3] + NVT [5] [4] + NVT [5] [5] + NVT [5] [6] + NVT [ 5] [7] + NVT [5] [8]）。
相反，您可以找到具有给定等级 r 的组合 C ，如下所示：
- 为“剩余排名”创建一个临时变量 rr ，最初等于 r 。
- 要找到 C [1] —位置＃1的值—计算从位置＃1开始的有效尾巴，从最小的可能值（即1）开始，一旦超过则停止 rr 。例如，由于 NVT [1] [1] = 66和 NVT [1] [2] = 27，排名75的组合必须以2开头（因为75 ≥66和75 <66 + 27）。然后从 rr 中减去该总和（在这种情况下为75−66 = 9）。
- 然后对所有后续位置执行相同的操作，请确保记住与先前位置相同的最小值。继续使用 r = 75， C [1] = 2和 rr = 9的示例，我们知道 C [2]≥3;并且由于 NVT [2] [3] = 23 >> rr ，我们立即发现 C [2] = 3。
复杂度分析：
- 空格：
- NVT 需要 O （ nk ）空间。
- 将组合返回为length- k 数组本质上需要 O （ k ）空间；但是如果我们一次返回一个组合值（通过调用回调或打印到控制台等），则计算本身实际上并不依赖于此数组，只需要 O （ 1）多余的空间。
- 除此之外，其他所有内容都可以在 O （1）空间中进行管理；我们不需要任何递归或临时数组或任何其他东西。
- 时间：
- 填充 NVT 需要花费 O （ nkd ）时间。 （注意：如果 d 大于 n ，那么我们可以将 d 设置为等于 n 。）< / li>
- 给出 NVT ，计算给定组合的排名将花费最坏情况下的 O （ nk ）时间。
- 给出 NVT ，计算具有给定等级的组合将花费最坏情况下的 O （ nk ）时间。
实施说明：上面的细节有些古怪；如果没有具体的数据需要查看，那么很容易出现一个错误，或者混淆两个变量，或者什么都不会。由于您的示例只有168个有效组合，因此我建议生成所有组合，以便在调试期间可以引用它们。
可能的其他优化：如果您期望 n 很大，并且希望对“组合”和“组合不组合”进行大量查询，那么创建组合可能会很有用第二个数组，我将其称为“ NVTLT ”，以表示“有效尾部的数量少于”，以记录从某个位置开始的有效“尾部”的数量，其值小于< / em>给定值。例如， NVTLT [3] [5] == NVT [3] [1] + NVT [3] [2] + NVT [3] [3] + NVT [3] [4]，或者，如果您愿意， NVTLT [3] [5] == NVTLT [3] [4] + NVT [3] [4]。 （您可以将其作为就地转换来完成，完全覆盖 NVT ，因此它是 O （ nk ）传递，没有额外的空间。 ）在查询中使用 NVTLT 而不是 NVT 将使您对值进行二进制搜索，而不是线性搜索，从而给出最坏情况的 O （ k log n ）时间而不是 O （ nk ）时间。请注意，此优化甚至比上述优化更为棘手，因此，即使您打算执行此优化，我还是建议从上述内容开始，使其完美运行，然后再添加此优化。