可以在时间O（n）或O（1）内计算第n个斐波那契数吗？为什么？

Question

我问自己，是否可以及时计算出第n个斐波那契数 O（n）或O（1），为什么？

有人可以解释吗？

Answer 1

是的。它被称为Binet's Formula，或者有时是错误地是De Moivre的公式（真正的De Moivre公式是another，但De Moivre did 发现了Binet的公式） Binet之前的公式），并涉及黄金比例Phi。背后的数学推理（请参阅链接）有点儿涉及，但可行：

虽然它是一个近似公式，但斐波那契数是整数-因此，一旦达到足够高的精度（取决于 n ），就可以将Binet公式中的数字近似为最接近的数整数。

然而，精度取决于常量，因此您基本上有两个版本，一个带有浮点数，一个带有双精度数，而第二个版本也在恒定时间内运行，但速度稍慢。对于 large n，您将需要一个任意精度数字库，而这些库的处理时间确实取决于所涉及的数字。正如@MattTimmermans观察到的那样，您可能最终会得到O（log ^ 2 n）算法。对于足够大的 n 值，应该会发生这种情况，以至于无论如何您都将被大量的库卡住（但我需要对此进行测试以确保确定）。

否则，Binet公式主要由两个乘幂和一个除法组成（三个总和与2的除法可以忽略不计），而递归公式主要使用函数调用，而迭代公式使用循环。虽然第一个公式是O（1），其他两个公式是O（n），但实际时间更像 a ， bn + c 和 dn + e ，其中a，b，c，d和e的值取决于硬件，编译器，实现等。对于现代CPU，很可能 a 不会比 b 或 d 大，这意味着O（1）公式应几乎每个 n 都更快。但是迭代算法的大多数实现都是以

开头

if (n < 2) {
        return n;
}

对于n = 0和n = 1，这很有可能会更快。我有信心Binet的公式对于除个位数之外的任何n都会更快。

Answer 2

与其考虑递归方法，不如考虑从1 + 1开始从下至上构建序列。

Answer 3

您还可以像这样使用矩阵m：

1    1
1    0

并计算其幂n。然后输出m^n[0,0]。