Question

给出一个包含n个元素的只读数组，找到数组中的中位数（第ceiling(n/2)个元素，大小为O(logn)，平均时间为{{1 }}。

数组中的元素不同。
数组未排序。
您不能更改数组中的任何值，只能读取它们

我考虑过使用Quicksort的想法，但是如果不更改数组就无法执行它。而复制到另一个数组将超出所需的空间。

Answer 1

您可以使用分而治之的方法来解决它，在最小值和最大值之间找到一个随机元素，检查它的中位数，是中位数低于还是高于中位数，然后仅在数组的子范围。

将min设置为数组中的最小元素，并将max设置为数组中的最大元素。
选择范围（mid）中的随机数min < mid < max，如果没有这样的mid，则min或max是中位数，找到完成的工作。
检查min，mid或max中的任何一个是否为中位数（线性搜索，请计算有多少个是大/小）。

3.1。如果是这样，您就完成了。

3.2。否则，中位数在(min,mid)或(mid,max)之间，并且您知道位置在哪里（如果高于中间值或低于中间值）。

3.3。如果位于(min,mid)中，请设置max = mid，否则，请设置min = mid。

3.4。返回2。

正确性：

如果算法找到一个数字，则stop子句仅是由于找到了中位数。
对于每次迭代，中位数仍在(min,max)中（带有归纳法的形式证明..），并且保证了每次迭代的范围都会缩小，因此可以保证算法停止并产生一些结果。 / li>

时间复杂度：

第1步：仅重复一次，并花费O(n)时间。
第2步：花费O(n)时间（在范围内找到不同的数字）并重复每次迭代。
第3步：花费O(n)时间（遍历每个范围都是线性的）。

平均情况下有O(logn)个迭代（类似于二进制搜索推理）。

这使我们O(nlogn)的时间复杂度

空间复杂度：

依赖于实现，但是具有尾递归（类似于上面的高级伪代码）实际上可以是O(1)。对于常规递归，对于堆栈，这是O(logn)。

Answer 2

这是一个简单的算法。它包括通过跟踪中间值所在的区间的上下边界来搜索中间值。

让E为元素列表。将中位数的上下限L和U设置为空。

对于E中的每个元素e，

如果L不为null并且e U，e不能为中位数，请跳到下一个元素。
扫描E并计算e之前的元素数量B，以及e之后的元素数量A。
如果A = B，e是中位数，则终止。如果A = B + 1，则没有单个中位数，但是e紧接中位数点之前，终止。如果B = A +1，则没有单一的中位数，但是e紧接中位数点之后，终止。
如果A> B，中位数在e之后，则设置L = e。如果B> A，则中位数在e之前，则设置U = e。

空间复杂度为O（1）。平均时间复杂度最高为O（n ²）和O（nlogn）。

示例：

E = [2 4 7 9 0 6 5]
       L,U = null,null  Initial state.
e = 2  L,U = 2,null     Update L.
e = 4  L,U = 4,null     Update L.
e = 7  L,U = 4,7        Update U.
e = 9  L,U = 4,7        Skip 9.
e = 0  L,U = 4,7        Skip 0.
e = 6  L,U = 4,6        Update U.
e = 5  Median is 5      Terminate.

在未排序的只读数组中找到中位数

2 个答案: