Question

我想计算在1和 N 之间有多少个整数设置了它们的 i 位。例如，如果 N = 10和 i = 0，则结果应为5（因为1 = 0001 ₂，3 = 0011 < sub> 2 ，5 = 0101 ₂，7 = 0111 ₂和9 = 1001 ₂各自在位为1 0）。

朴素的线性时间解决方案是从1迭代到 N ，然后为每个数字查看是否设置了第 i 位。

一种稍微好一点的方法是，因为已知功率为2（例如2 ^x），所以2 ^{x - 1}号的第 i 位将被置位，直到数字2 ^x-1，其中0≤i N −2 ^x）开头的第 i 位设置所有数字。 em> N 是直到找到所有具有第 i 位的数字为止的数字，而2 ^x是数字 N 的最接近2的幂。这种方法减少了迭代次数，但仍然是线性时间解决方案，在某些情况下，对于较大的次数可能非常无用。

有固定时间的解决方案吗？

Answer 1

首先让我们看一个例子。如果我们设置n=10，然后看第二位，那么k=1从右边看，我们将看到：

我们在这里看到 k 的⌊N/ 2 ^{k + 1}⌋次完整的往返 >位，并且每次这样的往返都会导致 2 ^k 位。我们将这些条目分组在水平条之前。

此外，还有 N +1-2 ^{k + 1}×⌊N/ 2 ^{k + 1}⌋条目在单杠下。我们肯定知道它比 2 ^k 少，因为否则⌊N/ 2 ^k ⌋会高一。前 2 ^k-1 项具有0作为选定位，而其余位（最多 2 ^k-1 项）具有1作为选定位。

因此，我们可以在Haskell中构造以下算法：

countBit k n = c1 + max 0 (n + 1 - c0 - sk) where sk = shiftL 1 k c1 = shiftL (shiftR n (k+1)) k c0 = shiftL c1 1

例如，k=1的计数如下：

Prelude Data.Bits> map (countBit 0) [0..32] [0,1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,7,8,8,9,9,10,10,11,11,12,12,13,13,14,14,15,15,16,16] Prelude Data.Bits> map (countBit 1) [0..32] [0,0,1,2,2,2,3,4,4,4,5,6,6,6,7,8,8,8,9,10,10,10,11,12,12,12,13,14,14,14,15,16,16] Prelude Data.Bits> map (countBit 2) [0..32] [0,0,0,0,1,2,3,4,4,4,4,4,5,6,7,8,8,8,8,8,9,10,11,12,12,12,12,12,13,14,15,16,16] Prelude Data.Bits> map (countBit 3) [0..32] [0,0,0,0,0,0,0,0,1,2,3,4,5,6,7,8,8,8,8,8,8,8,8,8,9,10,11,12,13,14,15,16,16] Prelude Data.Bits> map (countBit 4) [0..32] [0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,16]

因此对于n=10和k=1，我们得到了预期的结果：

Prelude Data.Bits> countBit 0 10 5 Prelude Data.Bits> countBit 1 10 5

或者我们可以用k=3列计算从0到12345（包括）在内的数字的设置位数：

Prelude Data.Bits> countBit 3 12345 6170

或针对k=15和n=12'345'678'901'234'567'890

Prelude Data.Bits> countBit 15 12345678901234567890 6172839450617282560

和n=123'456'789'012'345'678'901'234'567'890：

Prelude Data.Bits> countBit 15 123456789012345678901234567890 61728394506172839450617282560

我们在这里执行一些移位和减法，对于大量移位可以在 O（log N）时间（以上限为 N ）完成。

计算设置第i位的1到N（含）之间的数字

1 个答案: