Question

我解决了这个leetcode问题https://leetcode.com/problems/divide-two-integers/。目的是在不使用乘法或除法运算符的情况下获得dividend除以divisor的商。这是我的解决方案：

    def divide(dividend, divisor):     
        """
        :type dividend: int
        :type divisor: int
        :rtype: int
        """
        sign = [1,-1][(dividend < 0) != (divisor < 0)]
        dividend, divisor = abs(dividend), abs(divisor)
        res = 0
        i = 0
        Q = divisor
        while dividend >= divisor:
            dividend = dividend - Q
            Q <<= 1
            res += (1 << i)
            i+=1
            if dividend < Q:
                Q = divisor
                i = 0

        if sign == -1:
            res = -res

        if res < -2**31 or res > 2**31 -1:
            return 2**31 - 1

        return res

因此，我在分析此解决方案的时间复杂性时遇到了麻烦。我知道应该是O(log(something))。通常对于算法，我们说每次迭代将输入除以2时，它们就是O(log(n))，但是在这里，我将每次迭代将divisor乘以2 Q<<= 1，因此在每一步中，我都要迈向解决方案。显然，如果dividend对于更大的divisor是相同的，我的算法将更快。同样，dividend的{{1}}越大，我们的运行时间就越慢。

我的猜测是，控制该算法运行时间的方程式基本上是O（dividend / divisor）（除法的除法运算）形式，其中有一些登录信息，这说明我在每一步中将divisor乘以2 Q ...我不知道到底是什么。

编辑：

当我第一次发布问题时，我发布的算法是下面的算法，Alain Merigot的答案基于该算法。顶部版本与顶部版本之间的区别是，我的分红永远都不会低于0，从而缩短了运行时间。

Q <<= 1

Answer 1

最坏情况下的复杂性很容易找到。

每次迭代都会生成一个结果位，并且迭代次数等于商中的位数。

当除法器= 1时，商=除数，在这种情况下，迭代次数等于前导（最高有效位）1之后的除数中的位数。当除数= 2 ^（n-1）时，该值最大化。 + k，其中n是位数，而k是任意数，例如1≤k<2 ^（n-1）。这显然是最坏的情况。

第一次迭代后，p股息= dividend-diviser（= dividend-1）和diviser = 2 ^ 1

在迭代m之后，diviser = 2 ^ m和被除数= dividend-（1 + 2 ^ 1 + .. + 2 ^（m-1））=被除数-（2 ^ m-1）

当红利<0时，迭代停止。当p = 2 ^（n-1）+ k，且k> 0时，则发生在m = n。

因此，最坏情况下的步数为n，复杂度与被除数的位数呈线性关系。

Answer 2

在最坏的情况下，您的算法为O（m ^ 2），其中m是结果中的位数。就输入而言，它将是O（log（dividend / divisor）^ 2）。

要了解原因，请考虑循环的作用。令a =股息，b =除数。只要循环足够大，循环就会从a中减去b，2b，4b，8b，...，然后一次又一次地重复此序列，直到a<b。

它可以等效地写成两个嵌套循环：

while dividend >= divisor:
    Q = divisor
    i = 0
    while Q <= dividend:
        dividend = dividend - Q
        Q <<= 1
        res += (1 << i)
        i+=1

对于外部循环的每次迭代，内部循环将执行较少的迭代，因为dividend较小。在最坏的情况下，内循环对于外循环的每次迭代只会减少一次迭代。当结果是n的1 + 3 + 7 + 15 + ... +（2 ^ n-1）时，会发生这种情况。在这种情况下，可以证明n = O（log（res（））），但是内部循环迭代的总数为O（n ^ 2），即结果的大小是二次方。

要使结果大小线性化，请首先计算Q和i的最大所需值。然后从中倒退，从i中减去1，并在每次迭代中向右移Q。这样可以保证总共不超过2n次迭代。

该除法函数（不使用除法或乘法运算符）的时间复杂度是多少？

2 个答案: