这个C ++函数的时间复杂度是多少？

Question

我写了一个函数来显示主要数字和特定数字n的因素。

bool PrimeFactor(int n){
    int count = 0;// count divisors

    for (int i = 2 ; i < n; i++){
        if ( n % i == 0 ){
            if ( PrimeFactor(i)){              
                cout << i << endl;
            }
            count ++;
        }
    }

    if (count > 0)//not prime
        return false;
    return true;
}

结果可能在某些地方重复，但这不是重大问题。我不知道如何计算这个递归函数的时间复杂度。

Answer 1

这基本上是Ben Voigt答案的更加扩展版本。

正如Ben Voigt所说，没有条件的版本是O(n)，这应该是直截了当的。

现在，带有条件的版本将在if语句中执行递归，其次数等于n的除数（= value of the divisor function for n = d(n)）。< / p>

下限inf d(n) = 2，因为对于每个素数，这都是正确的并且有无数多个素数，所以无论你做多大n，你总能找到一个d(n) = 2。 1}}。这意味着对于素数，您的函数将递归0次并且具有复杂度O(n)。

上限更复杂（我需要咖啡），所以让我们暂时忽略它并计算平均复杂度。 d(n) = O(log n)的平均复杂度，正如Ben Voigt所述，原始函数的平均复杂度为O(n log n loglog n ...)。更详细：你有for循环，O(n)，在这个for循环中，你将平均递归d(n) = O(log n)次。现在再次输入该函数并递归O(log (log n))次等等。

另请注意DarkDust＆amp;提出的问题评论。杰夫福斯特。它也不会以你想要的方式运作。此外，检查偶数除n是否无用，因为偶数永远不会是素数（当然除了2）。由于递归，您将在递归调用期间输入内部if（带有cout的那个），因此您获得的输出将不是您想要的（我假设是独特的） n）的主要除数。

节省时间的另一种方法是仅测试floor(sqrt(n))。如果数字i完全划分n，请检查商j = n / i是否也是素数。例如。对于n = 6，您最多可以测试floor(sqrt(6)) = 2。然后你会发现i = 2是一个除数，你检查j = 6 / 2 = 3。在这种情况下，您会发现i和j都是主要的除数。

Answer 2

这种简化不会比原始时间更少，并且具有复杂性O(n!)。所以这是一个上限。

bool PrimeFactor(int n)
{
    for (int i = 2 ; i < n; i++) PrimeFactor(i);
}

我认为原作的复杂性是O(n log n loglog n ...)。

Answer 3

我试图翻译（到递归关系）并以正式的方式解决你的算法，如下所示：

增长的顺序是非多项式，这是一个要避免的算法！