有向无环图算法中单源最短路径的运行时间

Question

这是算法：

Topologically sort the Vertices of G
Initialize - Single - Source(G,s)
for each vertex u, taken in topologically sorted order
     for each vertex v in G.Adjacent[u]
         Relax(u,v,w) 

• 拓扑排序的运行时为O（V + E），其中V-是 顶点和E-是许多边
• 初始化-单个-源（G，s）具有运行时O（V）
• 循环的主要问题是两倍：循环的两倍运行时间为O（V + E）。但是我不明白，为什么不是O（V * E）？因为对于每个顶点，我们都要经过每个边缘，并且通常一个嵌套的Loop（对于Loops，总共2个）的复杂度为O（N ^ 2），但在这种情况下，它不是真的。

Answer 1

对于每个顶点 u ，您仅迭代遍历 u 的边缘。每个不同的边缘只能访问一次，这就是为什么该算法需要O（V + E）时间的原因。

这假设您使用的是图形表示形式（如邻接列表，而不是矩阵），该表示形式允许快速访问每个顶点的相邻边。拓扑排序也需要这样做。