我正试图从类别理论的角度了解Monoid是什么，但我对用来描述它的表示法有些困惑。这是维基百科：
在范畴论中，在一个单曲面类别（C，⊗，I）中的一个单曲面（或单曲面对象）（M，μ，η）是一个具有两个同态的物体M。
μ：M⊗M→M称为乘法，
η：I→M称为单位
我对晶态表示法感到困惑。为什么二进制运算⊗是射态符号的一部分？我对态射的理解是，它是一种可以从一种类型映射到另一种类型（域到共域）的函数，例如M → M。为什么操作⊗是定义中域的一部分？第二个困惑是关于I。为什么I是域？ I中根本没有Monoid对象。它只是对象M的中性元素。
我知道Monoid是一个具有一个对象，同一性同态和对该对象定义的二进制运算的类别，但是这种表示法使我认为我不了解某些内容。
M ⊗ M与笛卡尔积有某种关系，因此，态射的域定义为M x M？
编辑：我在Mathematics Stack Exchange上的问题得到了非常有用的答案。
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M ⊗ M与笛卡尔积有什么关系，因此，射素的域定义为M x M？
完全正确。更具体地说，我们通过选择 Hask （具有所有Haskell类型作为对象和所有Haskell函数的类别）从 base 中获得由Monoid类表示的那些类四面体。 （如态射）作为 C ，(,)（对类型构造函数）作为⊗，而()（单元类型）作为 I 。 μ和η的签名被翻译为Haskell，然后变为：
μ :: (M, M) -> M
η :: () -> M
通过产生μ，并利用() -> M函数与M值一一对应的方式（它们看起来都像{{1} }（对于某些\() -> m），我们得到了熟悉的m方法：
Monoid请注意，分类定义比mappend :: M -> M -> M
mempty :: M
更为笼统。例如，我们可能会继续使用 Hask ，同时将Monoid和(,)的对偶替换为()和Either，从而得到：
Void每种Haskell类型都以这种特定方式是一个单物状（μ是μ :: Either A A -> A
η :: Void -> A
，而η是{{3} }。
另一个示例是以 C 作为Haskell either id id的类别（它们之间具有自然转换-我将其写为Functor-作为射态） ，absurd为⊗和Compose为 I ：
type f ~> g = forall a. f a -> g a这两个通常写为：
-- Note the arrows here are ~>, and not ->
μ :: Compose M M ~> M
η :: Identity ~> M
换句话说，-- "Inlining" the definitions of Compose, Identity, and ~>
join :: M (M a) -> M a
return :: a -> M a
是Monad s类别中的一个monoid（这是 Hask 的特定版本，“ monad是内吞因子类别”）。值得一提的是，就像在另一个示例中一样，这不是使类四面体脱离该类别的唯一方法（有关指针，请参见Identity的最后一段，实际上，其余的可能是相关读物，因为它讨论了单曲面类别的概念。